# Integral de √x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de √x es (2/3)x^(3/2) + C. Escribe la raíz como potencia, comprueba derivando y mira ejemplos con √(ax + b), 1/√x e integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-raiz-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
- **Reescribe primero:** $\sqrt{x} = x^{1/2}$
- **Dominio:** $x \ge 0$
- **Integral relacionada:** $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{3}x^{3/2} = x^{1/2}$

## Ideas clave

- La integral de $\sqrt{x}$ es $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
- Escribe siempre las raíces como potencias fraccionarias, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, antes de usar la regla de la potencia inversa.
- Dividir entre $\frac{3}{2}$ es lo mismo que multiplicar por $\frac{2}{3}$.
- La integral de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ es $2\sqrt{x} + C$, un resultado que conviene recordar.

La **integral de $\sqrt{x}$ es $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$**. El truco está en escribir primero la raíz cuadrada como potencia.

$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

## Gráfica de √x y el área bajo ella

```graph
title: 'Área bajo y = √x entre 0 y 4, con la antiderivada y = (2/3)x^(3/2)'
caption: 'El área sombreada es $\frac{16}{3} \approx 5.33$. La antiderivada discontinua llega a $\frac{16}{3}$ en $x = 4$.'
x: [-0.5, 5]
y: [-0.5, 7.5]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 5]
  - expr: (2/3)x^(3/2)
    label: y = (2/3)x^(3/2) (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [0, 5]
shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4}
points:
  - [4, 5.333, '(4, 16/3)']
```

La región sombreada cabe dentro de un rectángulo de $4$ por $2$ y área $8$. Ocupa exactamente dos tercios de él, y de ahí sale el $\frac{2}{3}$.

## Deducción paso a paso

1. Reescribe la raíz: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
2. Usa la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule) con $n = \frac{1}{2}$.
3. Suma uno al exponente: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
4. Divide entre $\frac{3}{2}$, es decir, multiplica por $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}x^{3/2}$.
5. Añade $C$.

## Una segunda deducción: área cortando en horizontal

Hay una forma elegante de ver el $\frac{2}{3}$ sin ninguna regla. La curva $y = \sqrt{x}$ es la misma que $x = y^2$ para $y \ge 0$. Dibuja el rectángulo de $(0, 0)$ a $(b, \sqrt{b})$. La curva lo divide en dos. La parte entre la curva y el eje $y$ es el área bajo $x = y^2$ entre $y = 0$ e $y = \sqrt{b}$, que vale $\frac{(\sqrt{b})^3}{3}$ por la [integral de x²](/integrals/x-squared). El rectángulo completo mide $b\sqrt{b}$, así que el área bajo $\sqrt{x}$ es lo que queda:

$$b\sqrt{b} - \frac{b\sqrt{b}}{3} = \frac{2}{3}b^{3/2}$$

Coincide con la fórmula. Además muestra por qué las dos áreas se reparten en la proporción $1 : 2$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x} \checkmark$$

La regla en sentido directo está en la página de la [derivada de √x](/derivatives/sqrt-x).

## Otras raíces y potencias de x

El mismo método funciona con cualquier raíz. Reescribe, sube la potencia y divide:

| Integrando | Como potencia | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2x^{1/2} + C$ |
| $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$ |
| $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{3}{4}x^{4/3} + C$ |
| $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ | $x^{1/2} + x^{-1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$ |

## Variante por sustitución: integral de √(ax + b)

Sea $u = ax + b$, de modo que $du = a\,dx$:

$$\int \sqrt{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C$$

Por ejemplo, $\int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C$. Comprobación: $\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}$.

Un clásico: $\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C$, con $u = x^2 + 1$.

## Ejemplos de integrales definidas

**Ejemplo 1.** $\int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}$.

**Ejemplo 2.** $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2$. Es una integral impropia, porque $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se dispara en $0$, pero el área sigue siendo finita.

**Ejemplo 3.** $\int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.

## Errores comunes

1. **Aplicar la regla de la potencia directamente sobre el signo de raíz.** Escribe primero $x^{1/2}$.
2. **Dividir entre $\frac{1}{2}$ en lugar de $\frac{3}{2}$.** Se divide entre el nuevo exponente, no entre el antiguo.
3. **Escribir $\frac{3}{2}x^{3/2}$.** Dividir entre $\frac{3}{2}$ da $\frac{2}{3}$, no $\frac{3}{2}$.
4. **Integrar $\sqrt{x^2 + 1}$ como si fuera $\sqrt{x}$.** Con un interior no lineal y sin factor que encaje, la sustitución no funciona. Esa integral necesita [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution).

Practica con los [ejercicios de antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de √x?

La integral de $\sqrt{x}$ es $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, que también puedes escribir como $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/√x?

Es $2\sqrt{x} + C$. Escribe $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, sube la potencia a $\frac{1}{2}$ y divide entre $\frac{1}{2}$.

### ¿Cuánto vale la integral de √x entre 0 y 4?

Vale $\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}$.

### ¿Cuál es la integral de x√x?

Primero junta las potencias: $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, así que la integral es $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$.