# Integral de sec² x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sec² x es tan x + C. Por qué sale de la derivada de tan x, la forma sec²(ax), integrales relacionadas como tan² x y csc² x, y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sec-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\tan x + C$
- **También se escribe:** $\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
- **Forma lineal:** $\int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C$
- **Pareja con cosecante:** $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
- **De 0 a π/4:** $1$

## Ideas clave

- La integral de $\sec^2 x$ es $\tan x + C$, porque la derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x$.
- La regla de la potencia no se aplica: $\int\sec^2 x\,dx$ no es $\frac{\sec^3 x}{3}$.
- Para $\sec^2(ax)$, divide entre $a$.
- La identidad $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ convierte $\int\tan^2 x\,dx$ en esta integral.

La **integral de $\sec^2 x$ es $\tan x + C$**. Es la inversión directa de la derivada de $\tan x$, así que no hay nada que calcular, solo un hecho que reconocer.

$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

## Gráfica de sec² x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = sec² x entre 0 y π/4, con la antiderivada y = tan x'
caption: 'El área sombreada es $\tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$. La curva discontinua $y = \tan x$ es más empinada donde $\sec^2 x$ es mayor, cerca de las asíntotas.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 5]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-1.37, 1.37]
shade: {expr: sec(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [0, 1, 'pendiente 1']
```

El valor mínimo de $\sec^2 x$ es $1$, en $x = 0$. Coincide con la pendiente de $\tan x$ en el origen.

## Deducción

1. Recuerda la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x): $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$.
2. Así que $\tan x$ es una antiderivada de $\sec^2 x$.
3. Añade $C$: $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$.

Si has olvidado por qué $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$, aplica la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) a $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}(\tan x + C) = \sec^2 x \checkmark$$

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 1, \qquad \int_0^{\pi/3}\sec^2 x\,dx = \sqrt{3}, \qquad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 2$$

Cualquier intervalo que llegue a $\pm\frac{\pi}{2}$ da una integral impropia divergente, porque $\tan x \to \infty$.

## Variantes por sustitución

$$\int\sec^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C$$

**Ejemplo 1.** $\int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C$.

**Ejemplo 2.** $\int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C$, con $u = x^2$.

**Ejemplo 3.** $\int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C$, con $u = \tan x$.

**Ejemplo 4.** $\int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C$, ya que el numerador es la derivada del denominador.

## Integrales relacionadas

Las integrales trigonométricas de "cuadrados" y "productos" salen directamente de las seis derivadas trigonométricas:

| Integral | Resultado | Viene de |
| --- | --- | --- |
| $\int\sec^2 x\,dx$ | $\tan x + C$ | $(\tan x)' = \sec^2 x$ |
| $\int\csc^2 x\,dx$ | $-\cot x + C$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ |
| $\int\sec x\tan x\,dx$ | $\sec x + C$ | $(\sec x)' = \sec x\tan x$ |
| $\int\csc x\cot x\,dx$ | $-\csc x + C$ | $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ |
| $\int\tan^2 x\,dx$ | $\tan x - x + C$ | $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ |

La última fila se resuelve en la página de la [integral de tan² x](/integrals/tan-squared-x), y la tercera en la de la [integral de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x).

## Ejemplo resuelto: dos respuestas correctas

Calcula $\int\sec^2 x\tan x\,dx$.

- Con $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$: el resultado es $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.
- Con $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$: el integrando es $\sec x\cdot(\sec x\tan x)$, así que el resultado es $\frac{\sec^2 x}{2} + C$.

Las dos son correctas. Como $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$, los dos resultados solo difieren en la constante $\frac{1}{2}$, que queda absorbida por $C$.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia: $\frac{\sec^3 x}{3}$.** La regla de la potencia necesita que esté presente la derivada del interior, $\sec x\tan x$. No lo está.
2. **Responder $2\sec x\cdot\sec x\tan x$.** Esa es la derivada de $\sec^2 x$.
3. **Confundirla con $\int\sec x\,dx$.** Esa vale $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Consulta la [integral de sec x](/integrals/sec-x).
4. **Olvidar dividir entre $a$** en $\int\sec^2(ax)\,dx$.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sec² x?

La integral de $\sec^2 x$ es $\tan x + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/cos² x?

Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, es $\tan x + C$.

### ¿Cuál es la integral de sec²(3x)?

Es $\frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

### ¿Cuál es la integral de sec² x tan x?

Con $u = \tan x$ es $\frac{\tan^2 x}{2} + C$. Con $u = \sec x$ se obtiene $\frac{\sec^2 x}{2} + C$. Las dos son correctas, ya que difieren en la constante $\frac{1}{2}$.