# Integral de sec³ x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sec³ x es ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. El bucle de integración por partes paso a paso, la comprobación y la longitud de arco.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sec-cubo-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = \sec x$, $dv = \sec^2 x\,dx$
- **Identidad clave:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **De 0 a π/4:** $\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$
- **Fórmula de reducción:** $\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$

## Ideas clave

- La integral de $\sec^3 x$ es $\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$.
- Integra por partes una vez, usa $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, y la integral original vuelve a aparecer a la derecha.
- Pásala al lado izquierdo y divide entre $2$. Este truco del bucle también funciona con $\int e^x\sin x\,dx$.
- Aparece siempre que integras $\sqrt{1 + x^2}$, por ejemplo en la longitud de arco de una parábola.

La **integral de $\sec^3 x$ es $\dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$**. Es el ejemplo clásico de integración por partes en el que la integral vuelve a aparecer y hay que despejarla.

$$\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Gráfica de sec³ x y el área bajo ella

```graph
title: 'Área bajo y = sec³ x entre 0 y π/4'
caption: 'El área sombreada es $\frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$. La función crece muy deprisa hacia la asíntota en $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: sec(x)^3
    label: y = sec³ x
    domain: [-1.05, 1.05]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (para comparar)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
shade: {expr: sec(x)^3, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0.7854, 2.828, '(π/4, 2√2)']
```

## Deducción por partes, paso a paso

Llama $I = \int\sec^3 x\,dx$ a la integral.

1. Separa $\sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x$ y usa la [regla de integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) con
$$u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x$$
2. Aplica $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx$$
3. Sustituye $\tan^2 x$ por $\sec^2 x - 1$:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx$$
4. La integral original $I$ ha aparecido a la derecha. Suma $I$ a los dos lados:
$$2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$$
5. Divide entre $2$ y añade $C$.

El paso 4 usa la [integral de sec x](/integrals/sec-x). La elección $dv = \sec^2 x\,dx$ funciona porque $\sec^2 x$ es la parte que se integra fácilmente, dando $\tan x$. La [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts) tiene más ejemplos de este bucle.

## Comprobación derivando

Primero, por la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x$$

Sustituye $\tan^2 x$ por $\sec^2 x - 1$ y obtienes $2\sec^3 x - \sec x$. El término logarítmico tiene derivada $\sec x$. Por tanto

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark$$

## Integral definida

En $x = \frac{\pi}{4}$: $\sec = \sqrt{2}$, $\tan = 1$. En $x = 0$: $\sec = 1$, $\tan = 0$ y $\ln 1 = 0$. Así que

$$\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148$$

## Aplicación: integral de √(1 + x²) y longitud de arco

Sea $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\,d\theta$. Entonces $\sqrt{1 + x^2} = \sec\theta$ y

$$\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$$

La longitud de arco de la parábola $y = \frac{x^2}{2}$ entre $x = 0$ y $x = 1$ es $\int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx$, que es exactamente el área sombreada de arriba: aproximadamente $1.148$. Tienes más en la lección sobre [longitud de arco y área de superficie](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/arc-length-and-surface-area).

## La fórmula de reducción

Los mismos pasos con $\sec^n x$ dan

$$\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$$

Con $n = 3$ es nuestro resultado. Con $n = 5$, reduce $\sec^5 x$ a $\sec^3 x$, que ya conoces.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia: $\frac{\sec^4 x}{4}$.** Su derivada es $\sec^4 x\tan x$, no $\sec^3 x$.
2. **Elegir $u = \sec^2 x$, $dv = \sec x\,dx$.** Entonces $v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$, y la nueva integral es mucho más difícil.
3. **Olvidar dividir entre $2$** después de agrupar los términos en $I$.
4. **Perder el término logarítmico.** Es fácil olvidar la $\int\sec x\,dx$ del paso 3.

Practica con los [ejercicios de integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sec³ x?

Es $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### ¿Por qué no puedo usar la regla de la potencia con sec³ x?

La regla de la potencia para $\int u^3\,du$ necesita que $du = \sec x\tan x\,dx$ esté en la integral. No está, así que hace falta integración por partes.

### ¿Cuál es la integral de √(1 + x²)?

Con $x = \tan\theta$ se convierte en $\int\sec^3\theta\,d\theta$. El resultado es $\frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de sec³ x entre 0 y π/4?

Vale $\frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148$.