# Integral de sec x tan x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sec x tan x es sec x + C. Por qué invierte la derivada de sec x, cómo reconocerla disfrazada de sen x/cos² x y ejemplos con sustitución.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sec-x-tan-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\sec x + C$
- **Equivale a:** $\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C$
- **Forma lineal:** $\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C$
- **Pareja con cosecante:** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$
- **De 0 a π/3:** $1$

## Ideas clave

- La integral de $\sec x\tan x$ es $\sec x + C$, porque la derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$.
- Suele aparecer disfrazada como $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
- Es la clave de los cambios de variable con $u = \sec x$, como en $\int\sec^3 x\tan x\,dx$.
- Su pareja es $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, con signo menos.

La **integral de $\sec x\tan x$ es $\sec x + C$**. Es la inversa de una de las seis derivadas trigonométricas básicas, así que conviene reconocerla a primera vista.

$$\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$$

## Gráfica de sec x tan x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = sec x tan x entre 0 y π/3, con la antiderivada y = sec x'
caption: 'El área sombreada es $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$. La curva discontinua $y = \sec x$ tiene su mínimo en $x = 0$, justo donde $\sec x\tan x$ pasa por cero.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x
    domain: [-1.2, 1.2]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-1.35, 1.35]
shade: {expr: sec(x)tan(x), from: 0, to: 1.0472}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.0472, 2, '(π/3, 2)']
```

$\sec x\tan x$ es una función impar, así que su antiderivada $\sec x$ es par.

## Deducción

1. Recuerda la [derivada de sec x](/derivatives/sec-x): $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$.
2. Inviértela: $\sec x$ es una antiderivada de $\sec x\tan x$.
3. Añade $C$.

Si quieres ver de dónde sale la derivada, escribe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ y usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$$

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark$$

## Cómo reconocerla disfrazada

La integral no siempre llega etiquetada. Cada una de estas es $\sec x\tan x$:

| Integrando | Reescritura | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\tan x}{\cos x}$ | $\tan x\sec x$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x}$ | $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\sec x + C$ |

También puedes resolver la primera fila directamente con $u = \cos x$: $\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C$.

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$$

En un intervalo simétrico como $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ la integral es $0$, porque el integrando es impar.

## Variantes por sustitución

$$\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C$$

**Ejemplo 1.** $\int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C$.

**Ejemplo 2: potencias de la secante.** Con $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$:

$$\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C$$

**Ejemplo 3: potencias impares de la tangente.** $\int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$.

**Ejemplo 4: la pareja con cosecante.** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, ya que $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$.

## Errores comunes

1. **Integrar cada factor por separado.** $\int\sec x\tan x\,dx$ no es $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert$. Las integrales no se separan sobre los productos.
2. **Responder $\tan x$.** Esa es la integral de $\sec^2 x$. Consulta la [integral de sec² x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Responder $\csc x$ en la versión con cosecante.** Le falta un signo menos: $-\csc x + C$.
4. **No ver el disfraz.** Prueba siempre a reescribir $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ antes de recurrir a un método más difícil.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sec x tan x?

La integral de $\sec x\tan x$ es $\sec x + C$.

### ¿Cuál es la integral de sen x / cos² x?

Como $\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$, la integral es $\sec x + C$.

### ¿Cuál es la integral de sec(2x) tan(2x)?

Es $\frac{1}{2}\sec(2x) + C$.

### ¿Cuál es la integral de csc x cot x?

Es $-\csc x + C$, porque la derivada de $\csc x$ es $-\csc x\cot x$.