# Integral de sec x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sec x es ln|sec x + tan x| + C. El truco de multiplicar por uno paso a paso, las formas equivalentes, la comprobación derivando y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sec-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Método:** Multiplicar por $\dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert + C$
- **Otra forma:** $\ln\left\lvert\tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right\rvert + C$
- **De 0 a π/4:** $\ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$

## Ideas clave

- La integral de $\sec x$ es $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.
- El truco es multiplicar por $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$, lo que convierte el numerador en la derivada del denominador.
- Otros libros la escriben como $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$ o $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Todas son iguales.
- No es $\sec x\tan x$. Esa es la derivada de $\sec x$.

La **integral de $\sec x$ es $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$**. Es famosa porque la deducción habitual se basa en un truco que a nadie se le ocurriría a la primera, y vuelve a aparecer dentro de integrales más difíciles como $\int\sec^3 x\,dx$.

$$\int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Gráfica de sec x y el área bajo ella

```graph
title: 'Área bajo y = sec x entre 0 y π/4, con la antiderivada y = ln|sec x + tan x|'
caption: 'El área sombreada es $\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.881$. La antiderivada discontinua pasa por el origen y siempre crece, porque $\sec x > 0$ en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.3, 1.3]
  - expr: ln(abs(sec(x) + tan(x)))
    label: y = ln|sec x + tan x| (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-1.5, 1.5]
shade: {expr: sec(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Deducción paso a paso

1. Multiplica por una forma ingeniosa de $1$:
$$\int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$
2. Fíjate en el denominador $u = \sec x + \tan x$. Su derivada es $\sec x\tan x + \sec^2 x$, que es exactamente el numerador.
3. Así que $du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx$ y la integral se convierte en $\int\frac{du}{u}$.
4. Integra: $\ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

El paso 2 usa la [derivada de sec x](/derivatives/sec-x) y la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x). El paso 4 usa la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x \checkmark$$

## Formas equivalentes

Puede que veas otros resultados en tablas o en programas de cálculo. Todos son la misma función.

Como $\sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$, al elevar al cuadrado se obtiene

$$(\sec x + \tan x)^2 = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$$

Así que $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$. Una identidad del ángulo mitad da además $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Esta última forma es la que usa la proyección cartográfica de Mercator para espaciar los paralelos, y así fue como se descubrió la integral.

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx = \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \approx 0.881$$

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\,dx = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 1.317$$

Como $\sec x$ es par, $\int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a)$ para $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

## Variantes por sustitución

$$\int\sec(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b) + \tan(ax + b)\rvert + C$$

Por ejemplo, $\int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: reescribe primero.** $\int\frac{1}{\cos x}\,dx$ es simplemente $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Ejemplo 2: una suma.** $\int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C$.

**Ejemplo 3: dentro de una integral mayor.** La integración por partes convierte $\int\sec^3 x\,dx$ en $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx$. Consulta la [integral de sec³ x](/integrals/sec-cubed-x).

**Ejemplo 4: tras una sustitución trigonométrica.** $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$ con $x = \tan\theta$ se convierte en $\int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $\sec x\tan x$.** Esa es la derivada de $\sec x$. Su integral está en la página de la [integral de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x), en sentido contrario.
2. **Responder $\ln\lvert\sec x\rvert$.** Esa es la [integral de tan x](/integrals/tan-x).
3. **Responder $\tan x$.** Eso sale de $\sec^2 x$, no de $\sec x$.
4. **Quitar el valor absoluto** en intervalos donde $\sec x + \tan x < 0$.

La versión con cosecante funciona igual: consulta la [integral de csc x](/integrals/csc-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sec x?

La integral de $\sec x$ es $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### ¿Cómo se demuestra la integral de sec x?

Multiplica numerador y denominador por $\sec x + \tan x$. El numerador pasa a ser $\sec^2 x + \sec x\tan x$, que es la derivada del denominador $\sec x + \tan x$. Entonces $u = \sec x + \tan x$ da $\ln\lvert u\rvert + C$.

### ¿Cuál es la integral de sec(2x)?

Es $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de sec x entre 0 y π/4?

Vale $\ln\left(\sqrt{2} + 1\right) - \ln(1 + 0) = \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$.