# Integral de sen 2x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sen 2x es -cos(2x)/2 + C. El cambio de variable, por qué sen² x + C y -cos² x + C también son correctas, e integrales definidas resueltas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sen-2x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$
- **También correcto:** $\sin^2 x + C$ o $-\cos^2 x + C$
- **Método:** $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 a π/2:** $1$
- **Forma general:** $\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C$

## Ideas clave

- La integral de $\sin 2x$ es $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
- El factor $\frac{1}{2}$ compensa el $2$ que produce la regla de la cadena al derivar $\cos 2x$.
- Como $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, también puedes obtener $\sin^2 x + C$ o $-\cos^2 x + C$. Las tres son correctas.
- Resultados de aspecto distinto para una integral indefinida pueden ser todos correctos si difieren en una constante.

La **integral de $\sin 2x$ es $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$**. Es la [integral de sen x](/integrals/sin-x) con un paso extra para tratar el $2$ del interior.

$$\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

## Gráfica de sen 2x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = sen 2x entre 0 y π/2, con la antiderivada y = -cos(2x)/2'
caption: 'El arco sombreado tiene área $1$, la mitad del área bajo un arco de $\sin x$, porque está comprimido a la mitad de anchura. La antiderivada discontinua sube de $-\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{2}$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sen 2x
  - expr: -cos(2x)/2
    label: y = -cos(2x)/2 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: sin(2x), from: 0, to: 1.5708}
points:
  - [0, -0.5, '(0, -1/2)']
  - [1.5708, 0.5, '(π/2, 1/2)']
```

## Deducción con cambio de variable

1. Sea $u = 2x$. Entonces $du = 2\,dx$, así que $dx = \frac{1}{2}du$.
2. Sustituye: $\displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du$.
3. Integra: $\frac{1}{2}(-\cos u) + C$.
4. Deshaz el cambio $u = 2x$: $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Los mismos pasos dan la regla general $\int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. Consulta la [regla de sustitución](/rules/u-substitution-rule).

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark$$

El factor $2$ de la regla de la cadena cancela el $\frac{1}{2}$. El sentido directo está en la página de la [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Tres respuestas correctas

Usando la identidad del ángulo doble $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

- Con $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$: $\int 2u\,du = \sin^2 x + C$.
- Con $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$: $\int -2u\,du = -\cos^2 x + C$.

Parecen distintas de $-\frac{1}{2}\cos 2x$, pero no lo son. Como $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$:

$$-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}$$

Así que las tres respuestas solo difieren en constantes. Eso está permitido: el $+C$ absorbe la diferencia. Esto también explica por qué la [derivada de sen² x](/derivatives/sin-squared-x) es $\sin 2x$.

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0$$

En una integral definida, las tres formas de la antiderivada dan el mismo número, porque la constante se cancela al restar.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

**Ejemplo 2.** $\int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C$.

**Ejemplo 3: sen 2x cos x.** Escríbelo como $2\sin x\cos^2 x$ y toma $u = \cos x$:

$$\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C$$

Comprobación: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x$.

**Ejemplo 4: sen 2x cos 2x.** Usa $\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$, así que la integral es $-\frac{1}{8}\cos 4x + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $-\cos 2x + C$.** Has olvidado el $\frac{1}{2}$. Su derivada es $2\sin 2x$.
2. **Responder $-2\cos 2x + C$.** Eso multiplica por $2$, que es lo que haría la derivada.
3. **Pensar que $\sin^2 x$ está mal porque no coincide con el libro.** Derívala: obtienes $\sin 2x$, así que es correcta.
4. **Escribir $2\sin x$ en lugar de $\sin 2x$.** $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, no $2\sin x$.

Practica con los [ejercicios de cambio de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sen 2x?

La integral de $\sin 2x$ es $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

### ¿Por qué me sale sen² x al integrar sen 2x?

Si escribes $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ y usas $u = \sin x$, obtienes $\sin^2 x + C$. También es correcto, porque $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$, que solo se diferencia de $-\frac{1}{2}\cos 2x$ en la constante $\frac{1}{2}$.

### ¿Cuánto vale la integral de sen 2x entre 0 y π/2?

Vale $\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

### ¿Cuál es la integral de 2 sen x cos x?

Es la misma integral, ya que $2\sin x\cos x = \sin 2x$. Vale cualquiera de $-\frac{1}{2}\cos 2x$, $\sin^2 x$ o $-\cos^2 x$, más $C$.