# Integral de sen² x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sen² x es x/2 - sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias paso a paso, la comprobación derivando, sen²(ax) e integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sen-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identidad usada:** $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 a π:** $\dfrac{\pi}{2}$
- **Valor medio:** $\dfrac{1}{2}$ en un periodo completo

## Ideas clave

- La integral de $\sin^2 x$ es $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Usa primero la identidad de reducción de potencias $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. No hay ningún cambio de variable directo.
- En cualquier periodo completo, $\sin^2 x$ tiene valor medio $\frac{1}{2}$, así que $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- No es $\frac{\sin^3 x}{3}$. La regla de la potencia necesita un factor $\cos x$ que no está.

La **integral de $\sin^2 x$ es $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. La clave es una identidad de reducción de potencias que convierte el cuadrado en algo que se puede integrar término a término.

$$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Gráfica de sen² x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = sen² x entre 0 y π, con la antiderivada y = x/2 - sen(2x)/4'
caption: 'El área sombreada es $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$, exactamente la mitad del rectángulo de $\pi$ por $1$. La antiderivada discontinua oscila alrededor de la recta $y = \frac{x}{2}$.'
x: [-0.5, 6.8]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sen² x
  - expr: x/2 - sin(2x)/4
    label: y = x/2 - sen(2x)/4 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x)^2, from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [3.14159, 1.5708, '(π, π/2)']
```

La gráfica de $\sin^2 x$ oscila entre $0$ y $1$ con periodo $\pi$, centrada en $y = \frac{1}{2}$. Por eso la antiderivada crece, en promedio, como $\frac{x}{2}$.

## Deducción paso a paso

1. Parte de la identidad del ángulo doble $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
2. Despeja $\sin^2 x$: $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
3. Sustituye en la integral:
$$\int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx$$
4. Integra cada término. $\int 1\,dx = x$ y $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, por la [integral de cos x](/integrals/cos-x) con $a = 2$.
5. Junta todo: $\frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Usando $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, también puedes escribir el resultado como $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x \checkmark$$

El sentido directo está en la página de la [derivada de sen² x](/derivatives/sin-squared-x): $\frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x$.

## Integrales definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\pi$ |
| $\int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$ |

Para la última fila: $\frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143$.

Un atajo: en un periodo completo, $\sin^2 x$ y $\cos^2 x$ encierran la misma área, y juntas integran $1$. Así que a cada una le corresponde la mitad de la longitud del intervalo.

## Variantes por sustitución

Para $\sin^2(ax)$, usa $\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}$:

$$\int\sin^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

Así, $\int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$.

Cuando hay un factor $\cos x$, sáltate la identidad y haz el cambio $u = \sin x$:

$$\int\sin^2 x\cos x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: valor medio.** El valor medio de $\sin^2 x$ en $[0, 2\pi]$ es $\frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}$. Por eso la potencia en corriente alterna usa el factor $\frac{1}{2}$ (y el valor eficaz usa $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

**Ejemplo 2: volumen.** Al girar un arco de $y = \sin x$ alrededor del eje $x$ se obtiene un sólido de volumen $\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}$.

**Ejemplo 3: sen⁴ x.** Eleva la identidad al cuadrado: $\sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}$, y vuelve a reducir $\cos^2 2x$. El resultado es $\frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $\frac{\sin^3 x}{3}$.** Su derivada es $\sin^2 x\cos x$, no $\sin^2 x$.
2. **Responder $-\cos^2 x$.** Su derivada es $2\sin x\cos x = \sin 2x$.
3. **Usar la identidad con el signo equivocado.** Para $\sin^2$ es $1 - \cos 2x$. Para $\cos^2$ es $1 + \cos 2x$.
4. **Olvidar dividir $\sin 2x$ entre $2$** al integrar $\cos 2x$, lo que da $\frac{\sin 2x}{2}$ en lugar de $\frac{\sin 2x}{4}$ al final.

Siguiente: la [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x) usa la misma idea. Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sen² x?

Es $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$, que también se puede escribir $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de sen² x entre 0 y π?

Vale $\frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

### ¿Cuál es la integral de sen²(3x)?

Es $\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$. Usa $\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

### ¿Por qué no puedo usar u = sen x?

Porque entonces $du = \cos x\,dx$, y en $\int\sin^2 x\,dx$ no hay ningún $\cos x$ que lo absorba. Ese cambio solo funciona en integrales como $\int\sin^2 x\cos x\,dx$.