# Integral de sen x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de sen x es -cos x + C. De dónde sale el signo menos, el área de un arco, sen(ax + b) por sustitución e integrales definidas resueltas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-sen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin x\,dx = -\cos x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $-\cos x + C$
- **Área de un arco:** $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$
- **Periodo completo:** $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$
- **Forma lineal:** $\int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

## Ideas clave

- La integral de $\sin x$ es $-\cos x + C$. El signo menos es fundamental.
- Un arco de la curva seno, de $0$ a $\pi$, tiene área exactamente $2$.
- En un periodo completo la integral de $\sin x$ es $0$, porque el arco bajo el eje cancela el arco sobre el eje.
- Para $\sin(ax + b)$, divide entre $a$: $\int\sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

La **integral de $\sin x$ es $-\cos x + C$**. Casi todos los errores con esta integral se deben a una sola cosa: el signo menos.

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

## Gráfica de sen x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = sen x entre 0 y π, con la antiderivada y = -cos x'
caption: 'El arco sombreado tiene área exactamente $2$. La curva discontinua $y = -\cos x$ sube de $-1$ en $x = 0$ a $1$ en $x = \pi$, un cambio de $2$.'
x: [-1, 7]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x
  - expr: -cos(x)
    label: y = -cos x (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [0, -1, '(0, -1)']
  - [3.14159, 1, '(π, 1)']
```

Donde $\sin x > 0$ (de $0$ a $\pi$), la antiderivada $-\cos x$ sube. Donde $\sin x < 0$ (de $\pi$ a $2\pi$), vuelve a bajar.

## Deducción paso a paso

1. Pregúntate: ¿qué función tiene derivada $\sin x$?
2. Recuerda la [derivada de cos x](/derivatives/cos-x): $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
3. Tiene la forma correcta pero el signo equivocado. Multiplica por $-1$: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.
4. Así que $-\cos x$ es una antiderivada, y al sumar $C$ se obtienen todas.

Un truco para recordarlo: recorrer el ciclo $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ es derivar. Recorrerlo hacia atrás es integrar.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}(-\cos x + C) = -(-\sin x) = \sin x \checkmark$$

## Integrales definidas

Usando el [Teorema Fundamental del Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$

Otros valores útiles:

| Integral | Valor | Por qué |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1$ |
| $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ | $2$ | un arco completo |
| $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ | $0$ | los dos arcos se cancelan |
| $\int_{-a}^{a}\sin x\,dx$ | $0$ | $\sin x$ es impar |

Si quieres el área total en $[0, 2\pi]$ en lugar del área con signo, integra $\lvert\sin x\rvert$ y obtendrás $4$.

## Variantes por sustitución

Con $u = ax + b$, $du = a\,dx$:

$$\int\sin(ax + b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$$

Así, $\int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$ y $\int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$. Para $\sin(2x)$ hay una página entera: la [integral de sen 2x](/integrals/sin-2x).

Cuando aparece como factor la derivada del interior, haz la sustitución:

$$\int x\sin(x^2)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \quad (u = x^2)$$

$$\int \sin x\,e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x} + C \quad (u = \cos x)$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C$.

**Ejemplo 2.** $\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

**Ejemplo 3: posición a partir de la velocidad.** Una partícula tiene $v(t) = \sin t$ y parte de $s(0) = 0$. Entonces $s(t) = -\cos t + C$, y $s(0) = -1 + C = 0$ da $C = 1$, así que $s(t) = 1 - \cos t$.

**Ejemplo 4: valor medio.** El valor medio de $\sin x$ en $[0, \pi]$ es $\frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\cos x + C$.** Compruébalo derivando: $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, así que el signo está mal.
2. **Olvidar dividir entre $a$** en $\int\sin(ax)\,dx$.
3. **Multiplicar por $a$ en su lugar.** $\int\sin(3x)\,dx$ no es $-3\cos(3x)$. Eso es lo que haría la derivada.
4. **Errores de signo en las integrales definidas.** Escribe $[-\cos x]$ con corchetes y resta con cuidado: $-\cos\pi = +1$.

A continuación, consulta la [integral de cos x](/integrals/cos-x), o practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de sen x?

La integral de $\sin x$ es $-\cos x + C$.

### ¿Por qué la integral de sen x es menos coseno?

Porque la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$. Para obtener $+\sin x$ necesitas la derivada de $-\cos x$.

### ¿Cuánto vale la integral de sen x entre 0 y π?

Vale $-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$.

### ¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Es $-\frac{1}{2}\cos(2x) + C$. El factor $\frac{1}{2}$ compensa el $2$ que produciría la regla de la cadena.