# Integral de tan² x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de tan² x es tan x - x + C. Cómo la identidad tan² x = sec² x - 1 hace todo el trabajo, además de tan²(ax), tan³ x e integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-tan-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\tan x - x + C$
- **Identidad usada:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **De 0 a π/4:** $1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.215$
- **Forma lineal:** $\int\tan^2(ax)\,dx = \dfrac{\tan(ax)}{a} - x + C$
- **Pareja con cotangente:** $\int\cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C$

## Ideas clave

- La integral de $\tan^2 x$ es $\tan x - x + C$.
- Reescribe con la identidad pitagórica $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ y luego integra cada término.
- No uses la regla de la potencia. $\frac{\tan^3 x}{3}$ es incorrecto.
- La misma identidad sirve para potencias impares como $\tan^3 x$.

La **integral de $\tan^2 x$ es $\tan x - x + C$**. Una sola identidad la convierte en dos integrales que ya conoces.

$$\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$$

## Gráfica de tan² x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = tan² x entre 0 y π/4, con la antiderivada y = tan x - x'
caption: 'El área sombreada es $1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$. La antiderivada discontinua es plana en el origen, porque $\tan^2 0 = 0$, y nunca decrece.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: tan(x)^2
    label: y = tan² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x) - x
    label: y = tan x - x (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-1.4, 1.4]
shade: {expr: tan(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Deducción paso a paso

1. Parte de la identidad pitagórica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Divide entre $\cos^2 x$ para obtener $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$.
2. Reordena: $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
3. Sustituye: $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx$.
4. Usa la [integral de sec² x](/integrals/sec-squared-x), $\tan x$, y la [integral de una constante](/integrals/constant), $x$.
5. Junta todo: $\tan x - x + C$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \checkmark$$

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = \left(\tan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan^2 x\,dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685$$

Como $\tan^2 x$ es par, $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}$.

## Variantes por sustitución

$$\int\tan^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) - x + C$$

Fíjate en que solo el término con $\tan$ lleva el factor $\frac{1}{a}$. El $-x$ sale de integrar la constante $1$, que no tiene función interior.

**Ejemplo 1.** $\int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C$.

**Ejemplo 2.** $\int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C$.

## Potencias mayores de la tangente

La identidad $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ es la clave para cualquier potencia de $\tan x$.

**Ejemplo 3: tan³ x.**

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x(\sec^2 x - 1)\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx$$

El primer término es $\frac{\tan^2 x}{2}$ con $u = \tan x$. El segundo es la [integral de tan x](/integrals/tan-x). Por tanto

$$\int\tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Ejemplo 4: tan² x sec² x.** Aquí $u = \tan x$ funciona directamente: $\int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C$. Es el único caso en que $\frac{\tan^3 x}{3}$ es la respuesta correcta, porque está el factor $\sec^2 x$.

**Ejemplo 5: tan⁴ x.** $\tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x$, así que

$$\int\tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$$

## Errores comunes

1. **Responder $\frac{\tan^3 x}{3}$.** Eso necesita un factor $\sec^2 x$. Comprueba: su derivada es $\tan^2 x\sec^2 x$.
2. **Responder $\sec^2 x$ o $\ln^2\lvert\sec x\rvert$.** Ninguna de las dos da $\tan^2 x$ al derivar.
3. **Escribir la identidad al revés.** Es $\sec^2 x - 1$, no $1 - \sec^2 x$. Pruébalo en $x = \frac{\pi}{4}$: $\tan^2 = 1$ y $\sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
4. **Dividir $-x$ entre $a$** en $\int\tan^2(ax)\,dx$.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de tan² x?

Es $\tan x - x + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de tan² x entre 0 y π/4?

Vale $\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$.

### ¿Cuál es la integral de tan²(2x)?

Es $\frac{1}{2}\tan(2x) - x + C$.

### ¿Cuál es la integral de tan³ x?

Escribe $\tan^3 x = \tan x\sec^2 x - \tan x$. El resultado es $\frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$.