# Integral de tan x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de tan x es ln|sec x| + C, o -ln|cos x| + C. El cambio de variable u = cos x, por qué las dos formas coinciden e integrales definidas resueltas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-tan-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Método:** Escribe $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ y luego $u = \cos x$
- **Forma lineal:** $\int\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax)\rvert + C$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \tan x$

## Ideas clave

- La integral de $\tan x$ es $\ln\lvert\sec x\rvert + C$, que es lo mismo que $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
- Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y haz el cambio $u = \cos x$.
- No es $\sec^2 x$. Esa es la derivada de $\tan x$.
- El valor absoluto mantiene la fórmula válida donde $\cos x < 0$.

La **integral de $\tan x$ es $\ln\lvert\sec x\rvert + C$**. Ninguna derivada básica da $\tan x$ directamente, así que el resultado sale de un cambio de variable rápido.

$$\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$$

## Gráfica de tan x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = tan x entre 0 y π/4, con la antiderivada y = ln|sec x|'
caption: 'El área sombreada es $\ln\sqrt{2} \approx 0.347$. La antiderivada discontinua tiene un mínimo en $x = 0$, donde $\tan x = 0$, y se dispara cerca de las asíntotas en $x = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: ln(abs(sec(x)))
    label: y = ln|sec x| (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-1.52, 1.52]
shade: {expr: tan(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Deducción paso a paso

1. Reescribe con seno y coseno: $\displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$.
2. Sea $u = \cos x$. Entonces $du = -\sin x\,dx$, así que $\sin x\,dx = -du$.
3. Sustituye: $\displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Deshaz el cambio $u = \cos x$: $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
5. Simplifica con una propiedad de los logaritmos: $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert$.

El paso 3 usa la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x). Es el patrón $\int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert$, con un signo menos porque arriba está $-f'$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \frac{1}{\sec x}\cdot\sec x\tan x = \tan x \checkmark$$

Esto usa la [derivada de sec x](/derivatives/sec-x), $\sec x\tan x$. Compárala con la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x), que es $\sec^2 x$: un resultado completamente distinto.

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \Big[\ln\lvert\sec x\rvert\Big]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} - \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan x\,dx = \ln\sec\frac{\pi}{3} - 0 = \ln 2$$

Como $\tan x$ es impar, $\int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0$ para $a < \frac{\pi}{2}$. Integrar hasta $\frac{\pi}{2}$ da una integral impropia que diverge, porque $\ln\sec x \to \infty$.

## Variantes por sustitución

$$\int\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b)\rvert + C$$

Por ejemplo, $\int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C$.

Con la derivada del interior como factor: $\int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: tan por sec².** $\int\tan x\sec^2 x\,dx$ con $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$, da $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.

**Ejemplo 2: tangente al cubo.** Usa $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Ejemplo 3: su pareja, la cotangente.** Los mismos pasos con $u = \sin x$ dan $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$. Consulta la [integral de cot x](/integrals/cot-x).

## Errores comunes

1. **Responder $\sec^2 x$.** Esa es la derivada de $\tan x$, no la integral.
2. **Responder $\ln\lvert\cos x\rvert$ sin el signo menos.** Su derivada es $-\tan x$.
3. **Quitar el valor absoluto.** $\cos x$ es negativo en $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, y el $\ln$ de un número negativo no está definido.
4. **Confundirla con $\int\tan^2 x\,dx$**, que es $\tan x - x + C$. Consulta la [integral de tan² x](/integrals/tan-squared-x).

Practica con los [ejercicios de cambio de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de tan x?

La integral de $\tan x$ es $\ln\lvert\sec x\rvert + C$. También la verás escrita como $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.

### ¿Son iguales ln|sec x| y -ln|cos x|?

Sí. Como $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\ln\lvert\sec x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = -\ln\lvert\cos x\rvert$.

### ¿Cuánto vale la integral de tan x entre 0 y π/4?

Vale $\ln\sec\frac{\pi}{4} - \ln\sec 0 = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### ¿Cuál es la integral de tan(2x)?

Es $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec(2x)\rvert + C$.