# Integral de una constante y de 1: fórmula y ejemplos

> La integral de una constante k es kx + C, y la integral de 1 es x + C. Descubre por qué, la interpretación como área, integrales definidas y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-una-constante
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int k\,dx = kx + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $kx + C$
- **Integral de 1:** $\int 1\,dx = x + C$
- **Integral de 0:** $\int 0\,dx = C$
- **Integral definida:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}(kx + C) = k$

## Ideas clave

- La integral de una constante $k$ es $kx + C$. La integral de $1$ es $x + C$.
- Geométricamente, $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$ es el área de un rectángulo de altura $k$ y base $b - a$.
- Cualquier expresión sin $x$ es una constante: $\int \pi\,dx = \pi x + C$ y $\int e^2\,dx = e^2 x + C$.
- La integral de $0$ es $C$, no $0$, porque toda constante tiene derivada $0$.

La **integral de una constante $k$ es $kx + C$**. En particular, la **integral de $1$ es $x + C$**. Es la integral más sencilla del cálculo, y casi todas las demás integrales la usan en algún momento, normalmente como último término de un polinomio.

$$\int k\,dx = kx + C, \qquad \int 1\,dx = \int dx = x + C$$

## Gráfica: una constante da un rectángulo

```graph
title: 'Área bajo y = 3 entre x = 0 y x = 2, con la antiderivada y = 3x'
caption: 'El rectángulo sombreado tiene altura $3$ y base $2$, así que su área es $6$. La recta discontinua $y = 3x$ es la antiderivada: sube exactamente $6$ entre $x = 0$ y $x = 2$.'
x: [-0.5, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: 3x
    label: y = 3x (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: '3', from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 6, '(2, 6)']
```

El área bajo una recta horizontal siempre es un rectángulo. Su altura es $k$ y su base es lo que ha avanzado $x$, así que el área acumulada crece como $kx$. Esa es toda la fórmula en un solo dibujo.

## Por qué la integral de k es kx + C

Una integral pregunta: ¿qué función tiene esta derivada? Buscamos una función cuya pendiente sea $k$ en todas partes. Una recta de pendiente $k$ hace exactamente eso:

$$\frac{d}{dx}(kx) = k$$

Sumar cualquier constante $C$ desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo sin cambiar su pendiente, así que toda función $kx + C$ sirve. También puedes verlo como la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule) con $n = 0$: como $k = kx^0$,

$$\int kx^0\,dx = k\cdot\frac{x^{1}}{1} + C = kx + C$$

## Comprobación derivando

Comprueba siempre una antiderivada calculando su derivada:

$$\frac{d}{dx}\left(kx + C\right) = k + 0 = k \checkmark$$

La página de derivadas correspondiente es la [derivada de una constante](/derivatives/constant), que recorre la misma idea al revés: la derivada de cualquier constante es $0$.

## Integrales definidas de una constante

Con el [Teorema Fundamental del Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_a^b k\,dx = \Big[kx\Big]_a^b = kb - ka = k(b - a)$$

Si $k$ es negativa, el rectángulo queda por debajo del eje y el resultado es negativo. Por ejemplo, $\int_0^4 (-2)\,dx = -8$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int 7\,dx = 7x + C$.

**Ejemplo 2: constantes que parecen variables.** Cualquier número sin $x$ cuenta como constante, aunque se escriba con un símbolo:

$$\int \pi\,dx = \pi x + C, \qquad \int e^2\,dx = e^2 x + C, \qquad \int \ln 5\,dx = x\ln 5 + C$$

**Ejemplo 3: dentro de un polinomio.** Usando las [reglas de linealidad](/rules/integral-linearity-rules):

$$\int (6x^2 - 4x + 9)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 9x + C$$

El $9$ se convierte en $9x$. Consulta la [integral de x](/integrals/x) y la [integral de x²](/integrals/x-squared) para los otros dos términos.

**Ejemplo 4: otra variable.** $\int 3\,dt = 3t + C$. La variable del resultado coincide con la variable de $dt$.

**Ejemplo 5: una integral definida.** $\int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15$.

## Errores comunes

1. **Integrar una constante y obtener 0.** Esa es la regla de la derivada. La integración va en sentido contrario: $\int 5\,dx = 5x + C$, no $0$.
2. **Escribir $5 + C$.** El resultado debe contener $x$. Comprueba: la derivada de $5 + C$ es $0$, no $5$.
3. **Olvidar el $+ C$.** Sin él solo tienes una antiderivada, no todas.
4. **Tratar $e^2$ o $\pi^2$ como una potencia de $x$.** Son simples números. $\int e^2\,dx$ es $e^2x + C$, no $\frac{e^3}{3}$.

¿Quieres practicar más? Prueba los [ejercicios de antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) o lee la guía sobre [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1?

La integral de $1$ es $x + C$. Escrita sola, $\int dx$ significa lo mismo y también es igual a $x + C$.

### ¿Cuál es la integral de una constante k?

Es $kx + C$. Compruébalo derivando: la derivada de $kx$ es $k$ y la derivada de $C$ es $0$.

### ¿Cuál es la integral de 0?

Es una constante arbitraria $C$. Toda función constante tiene derivada $0$, así que la antiderivada de $0$ es cualquier constante.

### ¿Cuánto vale la integral de 5 entre 2 y 7?

Vale $5(7 - 2) = 25$, el área de un rectángulo de $5$ por $5$.