# Integral de x²: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de x² es x³/3 + C. Regla de la potencia inversa, demostración con sumas de Riemann, integrales definidas, la forma (ax + b)² y errores típicos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-al-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{x^3}{3} + C$
- **Regla usada:** Regla de la potencia inversa con $n = 2$
- **Área de 0 a b:** $\dfrac{b^3}{3}$
- **Área de 0 a 1:** $\dfrac{1}{3}$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^3}{3} = x^2$

## Ideas clave

- La integral de $x^2$ es $\frac{x^3}{3} + C$.
- El área bajo $y = x^2$ entre $0$ y $b$ es $\frac{b^3}{3}$, un tercio del rectángulo de $b$ por $b^2$ que la contiene.
- La integral de $3x^2$ es $x^3 + C$, que es la forma más fácil de recordar el patrón.
- Con un interior lineal, $\int (ax + b)^2\,dx = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$.

La **integral de $x^2$ es $\dfrac{x^3}{3} + C$**. Suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente.

$$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

## Gráfica: el área bajo y = x²

```graph
title: 'Área bajo y = x² entre 0 y 2, con la antiderivada y = x³/3'
caption: 'El área sombreada es $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. La antiderivada discontinua $y = \frac{x^3}{3}$ pasa por $\left(2, \frac{8}{3}\right)$.'
x: [-2, 2.6]
y: [-2.5, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2.667, '(2, 8/3)']
```

Fíjate en que la antiderivada es plana en $x = 0$ (donde $x^2 = 0$) y nunca decrece, porque $x^2$ nunca es negativa.

## Deducción con la regla de la potencia inversa

1. Parte de la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule): $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$.
2. Toma $n = 2$: el nuevo exponente es $3$.
3. Divide entre $3$: $\frac{x^3}{3}$.
4. Añade $C$.

## Una demostración con sumas de Riemann

También puedes hallar el área bajo $x^2$ entre $0$ y $b$ sin conocer ninguna antiderivada. Divide $[0, b]$ en $n$ franjas de anchura $\frac{b}{n}$ y usa los extremos derechos $x_i = \frac{bi}{n}$:

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{bi}{n}\right)^2\frac{b}{n} = \frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Cuando $n \to \infty$, la fracción $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ tiende a $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, así que el área es $\frac{b^3}{3}$. Coincide con la antiderivada. Es el mismo cálculo que hizo Arquímedes con la parábola, y puedes practicarlo en la guía de [sumas de Riemann](/blog/riemann-sums).

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \checkmark$$

Consulta también la [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

## Variante por sustitución: integral de (ax + b)²

Con $u = ax + b$ y $du = a\,dx$:

$$\int (ax + b)^2\,dx = \frac{1}{a}\int u^2\,du = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$$

Por ejemplo, $\int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C$. Comprobación: la derivada es $\frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2$.

La misma idea sirve con un factor $x$ adicional: $\int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C$, usando $u = x^2 + 1$. Tienes más en la página de la [regla de sustitución](/rules/u-substitution-rule).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

**Ejemplo 2.** $\int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C$.

**Ejemplo 3.** $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}$. Como $x^2$ es par, esto es el doble de $\int_0^2 x^2\,dx$.

**Ejemplo 4: volumen.** Al girar $y = x$ alrededor del eje $x$ en $[0, h]$ se obtiene un cono de volumen $\pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}$, el conocido $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ con $r = h$.

## Errores comunes

1. **Escribir $2x$.** Esa es la derivada, no la integral.
2. **Olvidar dividir entre $3$.** $x^3$ tiene derivada $3x^2$, no $x^2$.
3. **Integrar $(2x + 1)^2$ como $\frac{(2x+1)^3}{3}$.** También hay que dividir entre la derivada del interior, $2$.
4. **Elevar al cuadrado la integral de $x$.** Las integrales no se distribuyen sobre los productos.

Practica con los [ejercicios de antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) y los [ejercicios de integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x²?

La integral de $x^2$ es $\frac{x^3}{3} + C$. Sube el exponente de $2$ a $3$ y luego divide entre $3$.

### ¿Cuánto vale la integral de x² entre 0 y 1?

Vale $\frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

### ¿Cuál es la integral de 3x²?

Es $x^3 + C$, porque $3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3$.

### ¿La integral de x² es lo mismo que (integral de x)²?

No. $\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}$, que no es $\frac{x^3}{3}$. No puedes elevar al cuadrado la integral de $x$ para obtener la integral de $x^2$.