# Integral de x cos x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x cos x es x sen x + cos x + C. Integración por partes paso a paso, la comprobación, una gráfica, integrales definidas y ejemplos como x² cos x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-cos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $x\sin x + \cos x + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = x$, $dv = \cos x\,dx$
- **De 0 a π/2:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$
- **De 0 a π:** $-2$
- **Con cos(kx):** $\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C$

## Ideas clave

- La integral de $x\cos x$ es $x\sin x + \cos x + C$.
- Usa integración por partes con $u = x$ y $dv = \cos x\,dx$, de modo que $v = \sin x$.
- La integral que queda es $-\int\sin x\,dx = +\cos x$, así que los dos términos son positivos.
- Repite el paso por partes una vez más para $x^2\cos x$, o usa el método tabular.

La **integral de $x\cos x$ es $x\sin x + \cos x + C$**. Igual que $x\sin x$, es una potencia de $x$ por una función trigonométrica, así que la integración por partes con $u = x$ la resuelve en un paso.

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Gráfica de x cos x y su antiderivada

```graph
title: 'y = x cos x y su antiderivada x sen x + cos x'
caption: 'El área sombreada de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ es $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. La antiderivada discontinua tiene máximos y mínimos justo donde $x\cos x$ pasa por cero.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 7]
functions:
  - expr: x*cos(x)
    label: y = x cos x
  - expr: x*sin(x) + cos(x)
    label: y = x sen x + cos x (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: x*cos(x)
  from: 0
  to: 1.5708
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Cómo integrar x cos x paso a paso

Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** $u = x$ y $dv = \cos x\,dx$.
2. **Halla $du$ y $v$.** $du = dx$ y $v = \sin x$, por la [integral de cos x](/integrals/cos-x).
3. **Aplica la fórmula.**
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx$$
4. **Termina.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, y al restarla se obtiene $+\cos x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

$u = x$ es la elección correcta porque su derivada es $1$, lo que elimina la $x$. Elegir $u = \cos x$ subiría la potencia a $x^2$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$

El $\sin x$ de la [regla del producto](/rules/product-rule) cancela el $-\sin x$ que sale de $\cos x$.

## Integrales definidas

Sea $F(x) = x\sin x + \cos x$.

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1)$ | $\frac{\pi}{2} - 1$ |
| $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ | $(0 - 1) - (0 + 1)$ | $-2$ |
| $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2}$ | $-2\pi$ |
| $\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx$ | integrando impar | $0$ |

La última fila usa la simetría: $x\cos x$ es impar (una función impar por una par), así que las áreas de los dos lados se cancelan.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un ángulo escalado.** $\int x\cos 3x\,dx$. Con $u = x$ y $v = \frac{1}{3}\sin 3x$:

$$\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$$

**Ejemplo 2: x al cuadrado.** $\int x^2\cos x\,dx$. Primera vuelta con $u = x^2$, $v = \sin x$:

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx$$

La [integral de x sen x](/integrals/x-sin-x) es $\sin x - x\cos x$, así que

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$

**Ejemplo 3: un factor lineal.** $\int(2x - 1)\cos x\,dx$. Con $u = 2x - 1$, $du = 2\,dx$:

$$(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C$$

**Ejemplo 4: un coeficiente de Fourier.** En las series de Fourier aparecen integrales como $\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx$. El integrando es impar, así que el resultado es $0$ para todo número natural $n$, sin necesidad de partes.

**Ejemplo 5: un producto escondido.** $\int x\cos^2 x\,dx$. Escribe $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (consulta la [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x)), y entonces

$$\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$$

## Errores comunes

1. **Escribir $x\sin x - \cos x$.** Lo que queda es $-\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x$.
2. **Confundirla con $x\sin x$.** Aquí $v = \sin x$ sin cambio de signo; con $x\sin x$, $v = -\cos x$.
3. **Integrar factor a factor.** $\frac{x^2}{2}\sin x$ no es el resultado; derívalo para ver por qué.
4. **Perder el $\frac{1}{k^2}$** del segundo término cuando el ángulo es $kx$.

Para practicar más, prueba los [ejercicios de integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x cos x?

Es $x\sin x + \cos x + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de x cos x entre 0 y π?

Vale $-2$. La antiderivada vale $\pi\cdot 0 + \cos\pi = -1$ en $\pi$ y $0 + \cos 0 = 1$ en $0$, así que el resultado es $-1 - 1 = -2$.

### ¿Cuál es la integral de x² cos x?

Es $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. Usa partes dos veces, empezando con $u = x^2$.

### ¿Cuál es la integral de x cos(3x)?

Es $\frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$.