# Integral de x/(x² + 1): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x/(x² + 1) es ½ ln(x² + 1) + C. El cambio de variable paso a paso, por qué no hace falta valor absoluto e integrales parecidas como 1/(x² + 1).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-entre-x2-mas-1
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$
- **Método:** Cambio de variable con $u = x^2 + 1$
- **Valor absoluto:** No hace falta, ya que $x^2 + 1 > 0$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$
- **Compara con:** $\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$

## Ideas clave

- La integral de $\frac{x}{x^2 + 1}$ es $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.
- El numerador $x$ es la mitad de la derivada del denominador, así que haz el cambio $u = x^2 + 1$.
- No hace falta valor absoluto porque $x^2 + 1$ siempre es positivo.
- No la confundas con $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, que no tiene $x$ arriba.

La **integral de $\dfrac{x}{x^2 + 1}$ es $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$**. Es el ejemplo de manual de un [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule) que termina en un logaritmo.

$$\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$$

## Gráfica de x/(x² + 1) y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = x/(x² + 1) entre 0 y 2, con la antiderivada y = ½ ln(x² + 1)'
caption: 'El área sombreada es $\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805$. La función es impar y su antiderivada es par: la curva discontinua es simétrica respecto al eje $y$, con un mínimo en $x = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 1.6]
functions:
  - expr: x/(x^2 + 1)
    label: y = x/(x² + 1)
  - expr: ln(x^2 + 1)/2
    label: y = ½ ln(x² + 1) (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: x/(x^2 + 1), from: 0, to: 2}
points:
  - [1, 0.5, 'máx. (1, 1/2)']
```

## El cambio de variable paso a paso

1. Observa que la derivada del denominador, $2x$, coincide con el numerador salvo una constante.
2. Sea $u = x^2 + 1$. Entonces $du = 2x\,dx$, así que $x\,dx = \frac{1}{2}du$.
3. Reescribe: $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$.
4. Integra con la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x): $\frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C$.
5. Deshaz el cambio: $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C$.
6. Como $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, quita las barras: $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.

El patrón general es $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$. Aquí el numerador es $\frac{1}{2}f'(x)$, y de ahí sale el factor $\frac{1}{2}$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark$$

## Integrales definidas

**Ejemplo 1.** $\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

**Ejemplo 2.** $\int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$. El integrando es impar, así que el área de la izquierda cancela el área de la derecha.

**Ejemplo 3: cambio de límites.** Con $u = x^2 + 1$, los límites $x = 0$ y $x = 2$ pasan a ser $u = 1$ y $u = 5$:

$$\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5$$

## Integrales relacionadas

Pequeños cambios en el integrando cambian por completo el método:

| Integral | Método | Resultado |
| --- | --- | --- |
| $\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx$ | fórmula conocida | $\arctan x + C$ |
| $\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$ |
| $\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx$ | $u = x^2 + a^2$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C$ |
| $\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx$ | dividir primero | $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |

En la última fila, la división de polinomios da $\frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}$.

**Ejemplo 4: separar el numerador.**

$$\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C$$

El segundo término usa la [integral de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).

## Errores comunes

1. **Olvidar el $\frac{1}{2}$.** $du = 2x\,dx$, así que $x\,dx$ es solo la mitad de $du$.
2. **Responder $\arctan x$.** Esa es la integral de $\frac{1}{x^2 + 1}$, sin la $x$ arriba.
3. **Escribir $\ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert$** o separar la fracción como $\frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}$. Una fracción no se puede separar sobre una suma en el denominador.
4. **Integrar $\frac{x}{x^2 - 1}$ igual y quitar las barras.** Esa da $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$, y el valor absoluto importa.

Más práctica: [ejercicios de cambio de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x/(x² + 1)?

Es $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$. Usa $u = x^2 + 1$, de modo que $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

### ¿Cuál es la integral de 2x/(x² + 1)?

Es $\ln(x^2 + 1) + C$. El numerador es exactamente la derivada del denominador, así que el resultado es el logaritmo del denominador.

### ¿Cuánto vale la integral de x/(x² + 1) entre 0 y 1?

Vale $\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### ¿Converge la integral de x/(x² + 1) de 0 a infinito?

No. $\frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty$ cuando $b \to \infty$, así que la integral diverge. Para $x$ grande el integrando se comporta como $\frac{1}{x}$.