# Integral de x ln x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x ln x es (x²/2) ln x − x²/4 + C. Los pasos por partes con u = ln x, la comprobación, una gráfica y la fórmula de xⁿ ln x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-ln-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = \ln x$, $dv = x\,dx$
- **De 1 a e:** $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$
- **De 0 a 1:** $-\frac{1}{4}$
- **Potencia general:** $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$, $n \ne -1$

## Ideas clave

- La integral de $x\ln x$ es $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
- Elige $u = \ln x$, no $u = x$. $\ln x$ no se integra con facilidad, pero al derivarla se obtiene el sencillo $\frac{1}{x}$.
- El mismo método funciona con cualquier potencia: $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$ para $n \ne -1$.
- Para $n = -1$, la integral $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ se resuelve en cambio por sustitución.

La **integral de $x\ln x$ es $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$**. Es el producto de una potencia y un logaritmo, así que la herramienta es la integración por partes, con el logaritmo como $u$.

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

## Gráfica de x ln x con el área de 1 a e

```graph
title: 'y = x ln x con el área de 1 a e sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$. Entre $0$ y $1$ la curva baja por debajo del eje, y esa pequeña región tiene área con signo $-\frac{1}{4}$.'
x: [-0.5, 3.5]
y: [-1, 4.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3.5]
shade:
  expr: x*ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.71828, 2.71828, '(e, e)']
```

## Cómo integrar x ln x paso a paso

Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule): $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** $u = \ln x$ y $dv = x\,dx$. Los logaritmos van primero en LIATE.
2. **Halla $du$ y $v$.** $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = \frac{x^2}{2}$.
3. **Aplica la fórmula.**
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$
4. **Termina.** $\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}$, así que
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

El momento clave es el paso 3: el $\frac{1}{x}$ de $du$ cancela una potencia de $x$ de $v$ y deja una potencia sencilla. Eso pasa siempre que el logaritmo hace de $u$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x$$

La página de la [derivada de x ln x](/derivatives/x-ln-x) tiene el cálculo en sentido directo.

## Integrales definidas

**De 1 a e:**

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$$

Eso es aproximadamente $2.097$.

**De 0 a 1:** es [impropia](/blog/improper-integrals) en $0$ porque ahí $\ln x$ no está definido, pero $x^2\ln x \to 0$ cuando $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}$$

## La potencia general xⁿ ln x

Los mismos pasos con $dv = x^n\,dx$ y $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ dan

$$\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1$$

| Integral | Resultado |
| --- | --- |
| $\int\ln x\,dx$ ($n = 0$) | $x\ln x - x + C$ |
| $\int x^2\ln x\,dx$ | $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ |
| $\int\sqrt{x}\ln x\,dx$ | $\frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C$ |
| $\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx$ ($n = -2$) | $-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un cubo.** $\int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C$, por la fórmula general con $n = 3$.

**Ejemplo 2: el logaritmo de una potencia.** $\int x\ln(x^2)\,dx$. Usa $\ln(x^2) = 2\ln x$ para $x > 0$:

$$2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C$$

**Ejemplo 3: el caso n = −1.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ hace fallar la fórmula (habría que dividir entre cero). Usa en su lugar $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$: $\int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Ejemplo 4: un logaritmo al cuadrado.** $\int x(\ln x)^2\,dx$. Partes con $u = (\ln x)^2$, $dv = x\,dx$ da $\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx$, que ya sabes resolver:

$$\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C$$

## Errores comunes

1. **Elegir $u = x$.** Entonces $v$ necesita $\int\ln x\,dx$, y la integral que queda es más difícil que la original.
2. **No simplificar $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}$.** Es $\frac{x}{2}$, cuya integral es $\frac{x^2}{4}$, no $\frac{x^2}{2}$.
3. **Integrar los factores por separado.** $\frac{x^2}{2}(x\ln x - x)$ no es el resultado.
4. **Usar la fórmula general con $n = -1$.** Consulta el ejemplo 3.

Páginas relacionadas: la [integral de ln x](/integrals/ln-x), la [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x) y la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x ln x?

Es $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$, que también se puede escribir $\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C$.

### ¿Cuál es la integral de x² ln x?

Es $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$. Usa partes con $u = \ln x$ y $dv = x^2\,dx$.

### ¿Cuánto vale la integral de x ln x entre 0 y 1?

Vale $-\frac{1}{4}$. En el límite inferior, $\frac{x^2}{2}\ln x \to 0$ cuando $x \to 0^+$, así que solo queda el $-\frac{1}{4}$ del límite superior.

### ¿Por qué elegir u = ln x y no u = x?

Con $u = x$ necesitarías $v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x$, y la integral que queda se complica. Con $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}dx$ cancela una potencia de $x$ y deja una potencia sencilla para integrar.