# Integral de x eˣ: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x eˣ es (x − 1)eˣ + C. Los pasos de la integración por partes, por qué u = x es la elección correcta, una gráfica y ejemplos como x e^(2x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-por-e-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $(x-1)e^x + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = x$, $dv = e^x\,dx$
- **De 0 a 1:** $1$
- **Con e^(kx):** $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$

## Ideas clave

- La integral de $xe^x$ es $xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$.
- Usa integración por partes con $u = x$. Al derivar $x$ desaparece, y $e^x$ es fácil de integrar.
- Elegir $u = e^x$ hace que la integral que queda sea más difícil, no más fácil.
- Para $e^{kx}$, el resultado es $\left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

La **integral de $xe^x$ es $(x - 1)e^x + C$**. Es el primer ejemplo clásico de integración por partes: una potencia de $x$ por una exponencial.

$$\int x e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

## Gráfica de x eˣ y su antiderivada

```graph
title: 'y = x eˣ y su antiderivada (x − 1)eˣ'
caption: 'El área sombreada de $0$ a $1$ es exactamente $1$. La antiderivada discontinua tiene su mínimo en $x = 0$, donde $xe^x$ pasa de negativa a positiva.'
x: [-4, 1.4]
y: [-1.5, 5]
functions:
  - expr: x*e^x
    label: y = x eˣ
  - expr: (x-1)*e^x
    label: y = (x − 1)eˣ (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: x*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, -1, '(0, −1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Cómo integrar x eˣ paso a paso

La fórmula de la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) es $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** Sea $u = x$ y $dv = e^x\,dx$.
2. **Halla $du$ y $v$.** $du = dx$ y $v = e^x$.
3. **Aplica la fórmula.**
$$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx$$
4. **Termina la integral fácil.** $\int e^x\,dx = e^x$, así que
$$\int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

**¿Por qué $u = x$?** El objetivo es que la integral que queda sea más sencilla. Al derivar $x$ se obtiene $1$, así que la $x$ desaparece tras un paso. La regla LIATE (logarítmicas, inversas trigonométricas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales) dice lo mismo: las algebraicas van antes que las exponenciales, así que $x$ es $u$.

**¿Y si eliges al revés?** Con $u = e^x$ y $dv = x\,dx$ obtienes $\frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx$. La potencia de $x$ ha subido, así que el problema ha empeorado.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\Big((x-1)e^x\Big) = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$$

La [regla del producto](/rules/product-rule) devuelve exactamente el integrando. La página de la [derivada de x eˣ](/derivatives/x-e-to-the-x) muestra el sentido directo.

## Integrales definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0\cdot e - (-1)\cdot 1 = 1$$

**De −∞ a 0:** cuando $x \to -\infty$, $(x-1)e^x \to 0$ porque gana la exponencial. Así que

$$\int_{-\infty}^{0} xe^x\,dx = (0 - 1)e^0 - 0 = -1$$

El resultado es negativo porque $xe^x < 0$ para $x < 0$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una exponencial más rápida.** $\int xe^{2x}\,dx$. Sea $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, de modo que $v = \frac{1}{2}e^{2x}$:

$$\int xe^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

En general, $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

**Ejemplo 2: decrecimiento.** Con $k = -1$, la fórmula general da $\int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ vale $0 - (-1) = 1$. Es el tiempo de espera medio de la distribución exponencial de parámetro $1$.

**Ejemplo 3: un factor lineal.** $\int(3x + 2)e^x\,dx$. Con $u = 3x + 2$, $du = 3\,dx$:

$$(3x+2)e^x - 3e^x + C = (3x - 1)e^x + C$$

**Ejemplo 4: una potencia mayor.** Para $x^2e^x$, aplica partes dos veces. El resultado es $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, como se muestra en la página de la [integral de x² eˣ](/integrals/x-squared-e-to-the-x).

## Errores comunes

1. **Integrar factor a factor.** $\int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x$. La integral de un producto no es el producto de las integrales.
2. **Elegir $u = e^x$.** La integral que queda contiene entonces $x^2$, que es más difícil.
3. **Un error de signo en el último paso.** Es $xe^x - \int e^x\,dx$, así que el término $e^x$ se resta. Compruébalo derivando.
4. **Olvidar el $\frac{1}{k}$ con $e^{kx}$.** Con $e^{2x}$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$, no $e^{2x}$.

Para practicar más, consulta la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts) y los [ejercicios de integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x eˣ?

Es $(x - 1)e^x + C$, o $xe^x - e^x + C$.

### ¿Cuál es la integral de x e^(2x)?

Es $\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$. Usa partes con $u = x$ y $dv = e^{2x}\,dx$, de modo que $v = \frac{1}{2}e^{2x}$.

### ¿Cuál es la integral de x e^(−x)?

Es $-(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ la integral vale $1$.

### ¿Puedo resolver x eˣ con un cambio de variable?

No. Un cambio de variable necesita que la derivada del interior aparezca como factor, y aquí no hay ninguna función interior. Es un producto de dos funciones sin relación, que es justo para lo que sirve la integración por partes.