# Integral de x sen x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x sen x es sen x − x cos x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como x² sen x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x-sen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\sin x - x\cos x + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = x$, $dv = \sin x\,dx$
- **De 0 a π:** $\pi$
- **De 0 a π/2:** $1$
- **Con sen(kx):** $\int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C$

## Ideas clave

- La integral de $x\sin x$ es $\sin x - x\cos x + C$.
- Usa integración por partes con $u = x$ y $dv = \sin x\,dx$, de modo que $v = -\cos x$.
- Cuidado con los signos: $v = -\cos x$, y restar $\int -\cos x\,dx$ da $+\sin x$.
- Los arcos de $x\sin x$ tienen áreas $\pi$, $3\pi$, $5\pi$, etc., con signos alternos.

La **integral de $x\sin x$ es $\sin x - x\cos x + C$**. Es una potencia de $x$ por una función trigonométrica, un problema clásico de integración por partes.

$$\int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C$$

## Gráfica de x sen x

```graph
title: 'y = x sen x con el área de 0 a π sombreada'
caption: 'El arco sombreado tiene área exactamente $\pi$. El siguiente arco, de $\pi$ a $2\pi$, queda bajo el eje con área con signo $-3\pi$, y cada arco posterior crece en $2\pi$.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 3]
functions:
  - expr: x*sin(x)
    label: y = x sen x
shade:
  expr: x*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [3.14159, 0, '(π, 0)']
  - [6.28319, 0, '(2π, 0)']
```

## Cómo integrar x sen x paso a paso

La fórmula de la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) es $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** $u = x$ y $dv = \sin x\,dx$. En LIATE las algebraicas van antes que las trigonométricas.
2. **Halla $du$ y $v$.** $du = dx$ y $v = -\cos x$, por la [integral de sen x](/integrals/sin-x).
3. **Aplica la fórmula.**
$$\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx$$
4. **Termina.** $\int\cos x\,dx = \sin x$, así que
$$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Si eliges en cambio $u = \sin x$ y $dv = x\,dx$, la integral que queda es $\int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, con una potencia mayor. Esa es la señal para cambiar.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\sin x - x\cos x\right) = \cos x - \left(\cos x - x\sin x\right) = x\sin x$$

Los términos en $\cos x$ se cancelan, y la [regla del producto](/rules/product-rule) aplicada a $x\cos x$ aporta el $x\sin x$.

## Integrales definidas

Sea $F(x) = \sin x - x\cos x$.

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ | $F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0$ | $1$ |
| $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ | $F(\pi) - F(0) = \pi - 0$ | $\pi$ |
| $\int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi$ | $-3\pi$ |
| $\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(0)$ | $-2\pi$ |

En general, el arco de $k\pi$ a $(k+1)\pi$ tiene área $(2k+1)\pi$, con signo $(-1)^k$. El área total (sin signo) de $0$ a $2\pi$ es $\pi + 3\pi = 4\pi$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un ángulo escalado.** $\int x\sin 2x\,dx$. Con $u = x$, $dv = \sin 2x\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$:

$$-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

**Ejemplo 2: x al cuadrado, con el método tabular.** Para $\int x^2\sin x\,dx$, deriva $x^2$ hasta llegar a $0$ e integra $\sin x$ a la vez, con signos alternos:

| Signo | Derivar | Integrar |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $\sin x$ |
| $-$ | $2x$ | $-\cos x$ |
| $+$ | $2$ | $-\sin x$ |
| | $0$ | $\cos x$ |

Multiplica en diagonal:

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

**Ejemplo 3: un volumen.** Al girar el primer arco de $y = \sin x$ (de $0$ a $\pi$) alrededor del eje $y$, el método de las capas da

$$V = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2$$

Consulta la [guía de volúmenes de revolución](/blog/volumes-of-revolution) para ver el planteamiento.

**Ejemplo 4: un ángulo desplazado.** $\int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C$, ya que el interior tiene pendiente $1$.

## Errores comunes

1. **Equivocarse con $v$.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, no $\cos x$. La mayoría de los errores en este problema son de signo.
2. **Perder el doble negativo.** $-\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx$.
3. **Elegir $u = \sin x$.** La integral que queda contiene entonces $x^2$.
4. **Olvidar $\frac{1}{k}$ y $\frac{1}{k^2}$** con $\sin kx$. Deriva tu resultado para comprobarlo.

Compárala con la [integral de x cos x](/integrals/x-cos-x), que sigue los mismos pasos con signos distintos. Tienes más práctica en la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x sen x?

Es $\sin x - x\cos x + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de x sen x entre 0 y π?

Vale $\pi$. La antiderivada vale $\sin\pi - \pi\cos\pi = \pi$ arriba y $0$ abajo.

### ¿Cuál es la integral de x² sen x?

Es $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$. Usa partes dos veces, o el método tabular.

### ¿Cuál es la integral de x sen(2x)?

Es $-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$. Usa partes con $u = x$ y $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$.