# Integral de x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de x es x²/2 + C. Por qué, con la regla de la potencia inversa y un triángulo, integrales definidas, la forma ax + b y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Regla usada:** Regla de la potencia inversa con $n = 1$
- **Forma definida:** $\int_0^b x\,dx = \dfrac{b^2}{2}$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a} x\,dx = 0$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2}{2} = x$

## Ideas clave

- La integral de $x$ es $\frac{x^2}{2} + C$: sube el exponente en uno y divide entre el nuevo exponente.
- El área bajo $y = x$ entre $0$ y $b$ es un triángulo de área $\frac{b^2}{2}$, que coincide con la fórmula.
- La integral de $2x$ es $x^2 + C$, porque el $2$ cancela la división entre $2$.
- En un intervalo simétrico como $[-1, 1]$ la integral de $x$ es $0$: el área bajo el eje cancela el área sobre el eje.

La **integral de $x$ es $\dfrac{x^2}{2} + C$**. Sale directamente de la regla de la potencia inversa: suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente.

$$\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$$

## Gráfica de y = x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = x entre 0 y 2, con la antiderivada y = x²/2'
caption: 'El triángulo sombreado tiene base $2$ y altura $2$, así que su área es $2$. La curva discontinua $y = \frac{x^2}{2}$ llega exactamente a $2$ en $x = 2$.'
x: [-2.5, 3]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: x^2/2
    label: y = x²/2 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: x, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
```

La antiderivada $\frac{x^2}{2}$ es una parábola. Su pendiente en cada punto es igual a la altura de la recta $y = x$: pendiente $0$ en el origen, pendiente $2$ en $x = 2$ y pendientes negativas para $x$ negativo.

## Deducción paso a paso

1. Escribe $x$ como potencia: $x = x^1$.
2. Aplica la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule), $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, con $n = 1$.
3. Suma uno al exponente: $x^{2}$.
4. Divide entre el nuevo exponente: $\frac{x^2}{2}$.
5. Añade la constante: $\frac{x^2}{2} + C$.

También hay una demostración gráfica. La región bajo $y = x$ entre $0$ y $b$ es un triángulo rectángulo de base $b$ y altura $b$, así que su área es $\frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}$. La función área es $\frac{x^2}{2}$, y esa es exactamente la antiderivada.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x \checkmark$$

El sentido directo está en la página de la [derivada de x](/derivatives/x).

## Integrales definidas

$$\int_a^b x\,dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

Por ejemplo, $\int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4$. Esa región es un trapecio con lados paralelos $1$ y $3$ y anchura $2$, y su área es $\frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4$. El mismo resultado.

Cuando el intervalo cruza el $0$, el área bajo el eje cuenta como negativa: $\int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

## La versión lineal: integral de ax + b

Para una recta $ax + b$ puedes integrar término a término:

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{ax^2}{2} + bx + C$$

Con una [sustitución (cambio de variable)](/rules/u-substitution-rule), $u = ax + b$, obtienes una segunda forma:

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{(ax + b)^2}{2a} + C$$

Las dos son correctas. Al desarrollar la segunda se obtiene $\frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}$, que solo se diferencia de la primera en la constante $\frac{b^2}{2a}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$.

**Ejemplo 2.** $\int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C$. El $-5$ usa la [integral de una constante](/integrals/constant).

**Ejemplo 3.** $\int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4$.

**Ejemplo 4: valor medio.** El valor medio de $f(x) = x$ en $[0, 6]$ es $\frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3$, el punto medio, como cabe esperar de una recta.

## Errores comunes

1. **Escribir $x^2 + C$.** Hay que dividir entre el nuevo exponente. La derivada de $x^2$ es $2x$, no $x$.
2. **Obtener $1$.** Esa es la derivada de $x$, no su integral.
3. **Olvidar el $+ C$** en una integral indefinida.
4. **Esperar que el área sea positiva.** Una integral definida da el área con signo. Usa $\int\lvert x\rvert\,dx$ si quieres el área total; consulta la [integral de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

Sigue con la [integral de x²](/integrals/x-squared), o practica con [ejercicios de antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x?

La integral de $x$ es $\frac{x^2}{2} + C$. Compruébalo: la derivada de $\frac{x^2}{2}$ es $\frac{2x}{2} = x$.

### ¿Cuál es la integral de 2x?

Es $x^2 + C$. Saca el $2$ fuera: $2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2$.

### ¿Cuánto vale la integral de x entre 0 y 1?

Vale $\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$. Es el área de un triángulo rectángulo con catetos $1$ y $1$.

### ¿Por qué la integral de x entre -1 y 1 es igual a cero?

Porque $y = x$ es una función impar. El triángulo bajo el eje en $[-1, 0]$ tiene área con signo $-\frac{1}{2}$ y cancela el triángulo sobre el eje en $[0, 1]$.