# Integral de x² eˣ: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de x² eˣ es (x² − 2x + 2)eˣ + C. Integración por partes dos veces, el método tabular, la comprobación, una gráfica y el patrón de xⁿ eˣ.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-x2-por-e-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$
- **Método:** Integración por partes dos veces, o el método tabular
- **De 0 a 1:** $e - 2 \approx 0.718$
- **Con e^(−x), de 0 a ∞:** $\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2$
- **Patrón:** $\int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$

## Ideas clave

- La integral de $x^2e^x$ es $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$.
- Usa la integración por partes dos veces con la potencia de $x$ como $u$. Cada vuelta baja la potencia en uno.
- El método tabular hace las dos vueltas a la vez: deriva $x^2$ hasta llegar a cero, integra $e^x$ y alterna los signos.
- El patrón continúa: $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$.

La **integral de $x^2e^x$ es $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$**. Requiere integración por partes dos veces, y es el ejemplo clásico del método tabular.

$$\int x^2e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## Gráfica de x² eˣ y su antiderivada

```graph
title: 'y = x² eˣ y su antiderivada (x² − 2x + 2)eˣ'
caption: 'El área sombreada de $0$ a $1$ es $e - 2 \approx 0.718$. La antiderivada discontinua siempre es creciente, porque $x^2e^x \ge 0$ para todo $x$.'
x: [-5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: x^2*e^x
    label: y = x² eˣ
  - expr: (x^2 - 2x + 2)*e^x
    label: y = (x² − 2x + 2)eˣ (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: x^2*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Cómo integrar x² eˣ paso a paso

Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, con la potencia de $x$ como $u$ cada vez.

1. **Primera vuelta.** $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, así que $du = 2x\,dx$ y $v = e^x$:
$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$$
2. **Segunda vuelta.** Ya sabes que $\int xe^x\,dx = (x-1)e^x$ por la [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Si no, usa otra vez $u = x$, $dv = e^x\,dx$.
3. **Junta todo.**
$$x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## El atajo tabular

Cuando un factor se anula al derivarlo varias veces y el otro es fácil de integrar una y otra vez, monta una tabla. Deriva $x^2$ en la columna izquierda, integra $e^x$ en la derecha y añade signos alternos:

| Signo | Derivar | Integrar |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $e^x$ |
| $-$ | $2x$ | $e^x$ |
| $+$ | $2$ | $e^x$ |
| | $0$ | $e^x$ |

Multiplica cada entrada de la izquierda por la entrada de la derecha de la fila siguiente, con el signo de la fila de la izquierda:

$$+x^2e^x - 2xe^x + 2e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x$$

La lección de [partes repetidas y LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) practica este método.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x$$

Todo se cancela menos $x^2$. Una buena forma de recordar el resultado: el polinomio $p(x) = x^2 - 2x + 2$ cumple $p + p' = x^2$.

## Integrales definidas

**De 0 a 1:**

$$\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = (1)e - (2)(1) = e - 2 \approx 0.718$$

**De −∞ a 0:** cuando $x \to -\infty$, $(x^2 - 2x + 2)e^x \to 0$, así que la integral vale $2 - 0 = 2$.

**Con una exponencial decreciente.** $\int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$, así que

$$\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 0 - (-2) = 2 = 2!$$

Es un caso del resultado de la función Gamma $\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!$. Consulta las [integrales impropias](/blog/improper-integrals) para ver por qué el límite en el infinito es $0$.

## El patrón de xⁿ eˣ

Cada potencia extra de $x$ añade una fila a la tabla:

| Integral | Resultado |
| --- | --- |
| $\int e^x\,dx$ | $e^x + C$ |
| $\int xe^x\,dx$ | $(x - 1)e^x + C$ |
| $\int x^2e^x\,dx$ | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ |
| $\int x^3e^x\,dx$ | $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$ |

El polinomio es $x^n$ menos su derivada más su segunda derivada, y así sucesivamente, con signos alternos.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una exponencial más rápida.** $\int x^2e^{2x}\,dx$. En el método tabular la columna derecha es $e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}$:

$$\frac{x^2}{2}e^{2x} - \frac{2x}{4}e^{2x} + \frac{2}{8}e^{2x} + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C$$

**Ejemplo 2: un polinomio de segundo grado.** $\int(x^2 + 1)e^x\,dx$. Aquí $p = x^2 + 1$, y el patrón da $(p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C$.

**Ejemplo 3: primero un cambio de variable.** $\int x^3e^{x^2}\,dx$. Sea $w = x^2$, $dw = 2x\,dx$, así que la integral es $\frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C$.

## Errores comunes

1. **Pararse tras una vuelta.** $x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ todavía contiene una integral.
2. **Perder el factor 2.** La primera vuelta saca $2x$, y el $2$ multiplica todo el segundo resultado.
3. **Signos equivocados en la tabla.** Los signos alternan $+, -, +$ empezando por la fila de arriba.
4. **Elegir $u = e^x$.** La potencia de $x$ sube en lugar de bajar.

Más práctica: los [ejercicios de integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de x² eˣ?

Es $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, que desarrollada queda $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

### ¿Cuál es la integral de x² e^(−x)?

Es $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ vale $2$.

### ¿Cuántas veces se usa la integración por partes con x² eˣ?

Dos. La primera vuelta convierte $x^2$ en $2x$, y la segunda convierte $2x$ en $2$. Después solo queda $\int e^x\,dx$.

### ¿Cuál es la integral de x³ eˣ?

Es $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$. Usa el método tabular con las tres derivadas no nulas de $x^3$.