# Integral de |x|: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de |x| es x|x|/2 + C. Aprende a dividir en el cero, por qué no es |x²/2| y cómo calcular integrales definidas como |x - 1| entre 0 y 4.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-del-valor-absoluto-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$
- **Para x ≥ 0:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Para x < 0:** $-\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} = \lvert x\rvert$

## Ideas clave

- La integral de $\lvert x\rvert$ es $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$.
- En las integrales definidas, divide el intervalo donde el interior del valor absoluto cambia de signo.
- $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$, dos triángulos de área $\frac{a^2}{2}$ cada uno.
- $\frac{x^2}{2} + C$ solo es correcto para $x \ge 0$. Para $x < 0$ necesitas $-\frac{x^2}{2}$.

La **integral de $\lvert x\rvert$ es $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$**. Como $\lvert x\rvert$ se define a trozos, la forma más limpia de hallar su integral es integrar cada trozo y luego unirlos.

$$\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$$

## Gráfica de |x| y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = |x| entre -1 y 2, con la antiderivada y = x|x|/2'
caption: 'La región sombreada son dos triángulos de áreas $\frac{1}{2}$ y $2$, en total $\frac{5}{2}$. La antiderivada discontinua es $-\frac{x^2}{2}$ a la izquierda y $\frac{x^2}{2}$ a la derecha.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: x*abs(x)/2
    label: y = x|x|/2 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: abs(x), from: -1, to: 2}
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

La antiderivada siempre crece, ya que $\lvert x\rvert \ge 0$. Tiene un punto plano en el origen, donde $\lvert x\rvert = 0$, y ahí es suave aunque $\lvert x\rvert$ tenga un pico.

## Deducción trozo a trozo

1. Separa la función: $\lvert x\rvert = x$ para $x \ge 0$ y $\lvert x\rvert = -x$ para $x < 0$.
2. Integra cada trozo con la [integral de x](/integrals/x): $\frac{x^2}{2}$ a la derecha, $-\frac{x^2}{2}$ a la izquierda.
3. Haz que coincidan en $x = 0$. Los dos trozos valen $0$ ahí, así que no hace falta ninguna constante extra.
4. Escribe los dos trozos en una sola fórmula. Como $x\lvert x\rvert = x^2$ para $x \ge 0$ y $x\lvert x\rvert = -x^2$ para $x < 0$, la antiderivada es $\frac{x\lvert x\rvert}{2}$.
5. Añade $C$.

También puedes escribir el resultado como $\frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C$, donde $\operatorname{sgn}(x)$ es el signo de $x$.

## Comprobación derivando

Para $x > 0$: $\frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert$. Para $x < 0$: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert$. En $x = 0$ las dos pendientes laterales valen $0$, así que la derivada es $0 = \lvert 0\rvert$. La comprobación funciona en todas partes. Compárala con la [derivada de |x|](/derivatives/absolute-value-of-x), que no existe en $0$.

## Integrales definidas: divide donde cambia el signo

Para una integral definida casi nunca necesitas la fórmula de la antiderivada. Divide el intervalo donde el interior de las barras se anula y usa las [propiedades de la integral definida](/rules/definite-integral-properties).

**Ejemplo 1.** $\int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$.

**Ejemplo 2.** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$ para cualquier $a > 0$. La función es par, así que es el doble de $\int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}$.

**Ejemplo 3: interior desplazado.** En $\int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx$, el interior se anula en $x = 1$:

$$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^4 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$$

**Ejemplo 4: distancia total.** Si la velocidad es $v(t) = t - 2$ en $[0, 5]$, el desplazamiento es $\int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}$, pero la distancia total recorrida es $\int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$. Este es el motivo más habitual para integrar un valor absoluto.

## Variante por sustitución

Con un interior lineal, $\int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C$. Por ejemplo, $\int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $\frac{x^2}{2} + C$.** Solo es correcto para $x \ge 0$.
2. **Responder $\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C$.** Su derivada es $x$, que es negativa para $x < 0$.
3. **Obtener $0$ en $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx$.** $\lvert x\rvert$ es par, no impar. No se cancela nada.
4. **Dividir en el punto equivocado.** Para $\lvert x - 1\rvert$, divide en $x = 1$, no en $x = 0$.

Practica este tipo de división con los [ejercicios de integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de |x|?

Es $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$. Eso es igual a $\frac{x^2}{2}$ para $x \ge 0$ y a $-\frac{x^2}{2}$ para $x < 0$.

### ¿Cuánto vale la integral de |x| entre -1 y 1?

Vale $1$. La gráfica forma dos triángulos, cada uno de área $\frac{1}{2}$.

### ¿Por qué la integral de |x| no es |x²/2|?

$\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert = \frac{x^2}{2}$, cuya derivada es $x$. Para $x$ negativo eso es negativo, pero $\lvert x\rvert$ es positivo. Hace falta el cambio de signo que aporta $x\lvert x\rvert$.

### ¿Es |x| integrable aunque tenga un pico?

Sí. $\lvert x\rvert$ es continua, y toda función continua en un intervalo cerrado es integrable. El pico solo impide que sea derivable en $0$.