# Criterio de series alternadas (Leibniz): condiciones, cota y ejemplos

> El criterio de series alternadas (criterio de Leibniz): si bₙ decrece a 0, la serie de (−1)ⁿbₙ converge. Condiciones, cota del error y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/criterio-de-series-alternadas
Actualizado: 2026-11-03

$$ b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} $$

## De un vistazo

- **También llamado:** Criterio de Leibniz
- **Condición 1:** Los términos alternan de signo: $\sum (-1)^{n+1} b_n$ con $b_n > 0$
- **Condición 2:** $b_n$ es decreciente, al menos a partir de cierto término
- **Condición 3:** $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$
- **Cota del error:** $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$
- **No puede demostrar:** La divergencia ni la convergencia absoluta

## Ideas clave

- Una serie alternada converge si los tamaños $b_n$ decrecen y tienden a $0$.
- El error después de $N$ términos es como máximo el siguiente término: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$.
- Superar el criterio puede significar convergencia condicional, como ocurre con $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
- Si $b_n$ no tiende a $0$, la serie diverge por el criterio del término n-ésimo.

El **criterio de series alternadas** se aplica a series cuyos términos cambian de signo, como $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$. Si el tamaño de los términos disminuye de forma constante hasta cero, las sumas parciales zigzaguean cada vez más cerca de un límite y la serie converge.

## El criterio

Supón que $b_n > 0$ para todo $n$. La serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots$$

converge si se cumplen las dos condiciones:

1. $b_{n+1} \le b_n$ para todo $n$ (o para todo $n$ a partir de cierto valor), y
2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

Lo mismo vale para $\sum (-1)^n b_n$, que solo cambia todos los signos.

## La cota del error

Si se cumplen las condiciones y $S$ es la suma, la suma parcial $S_N$ está a menos de un término del valor exacto:

$$\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$$

Además, $S$ está entre dos sumas parciales consecutivas cualesquiera. Este es el **teorema de estimación de series alternadas**, y hace que las series alternadas sean fáciles de aproximar.

```graph
title: 'Las sumas parciales de la serie armónica alternada zigzaguean hacia ln 2'
caption: 'Las sumas parciales impares quedan por encima de $\ln 2 \approx 0.693$ y las pares por debajo, y la distancia se reduce en cada paso.'
x: [0, 9]
y: [0.4, 1.1]
functions:
  - expr: ln(2)
    label: y = ln 2
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 0.5, 'S2 = 0.5']
  - [3, 0.8333]
  - [4, 0.5833]
  - [5, 0.7833]
  - [6, 0.6167]
  - [7, 0.7595]
  - [8, 0.6345]
```

## Por qué funciona

Como los $b_n$ decrecen, cada paso se pasa del límite menos que el anterior. Las sumas parciales pares $S_2, S_4, S_6, \ldots$ crecen, las impares $S_1, S_3, S_5, \ldots$ decrecen, y toda suma par queda por debajo de toda suma impar. Ambas sucesiones son acotadas y monótonas, así que convergen, y como $S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0$, convergen al mismo límite.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: la serie armónica alternada.** Para $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, $b_n = \frac{1}{n}$ es positiva, decreciente y tiende a $0$. La serie converge (a $\ln 2$). Como $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la convergencia es **condicional**.

**Ejemplo 2: falla la condición del límite.** Para $\sum (-1)^n \frac{n}{n+1}$, $b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$. El criterio de series alternadas no se aplica, y el [criterio del término n-ésimo](/rules/nth-term-test) muestra que la serie diverge.

**Ejemplo 3: comprobar que es decreciente con una derivada.** Para $\sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n}$ (empezando en $n = 2$), sea $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Entonces $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0$ para $x > e$, así que $b_n$ decrece para $n \ge 3$, y $\frac{\ln n}{n} \to 0$. La serie converge.

**Ejemplo 4: estimar una suma.** La serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots$ cumple el criterio. Con cuatro términos se obtiene

$$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{5}{8} = 0.625$$

con un error de como máximo $b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083$. La suma exacta es $1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$, y el error real es de aproximadamente $0.0071$.

## Convergencia absoluta y condicional

El criterio demuestra la convergencia, pero no dice nada sobre la convergencia absoluta. Estudia $\sum b_n$ por separado:

| Serie | $\sum b_n$ | Conclusión |
| --- | --- | --- |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ | converge | absolutamente convergente |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | diverge | condicionalmente convergente |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ | diverge | condicionalmente convergente |

El [criterio del cociente](/rules/ratio-test) da $L = 1$ en los tres casos, así que no permite decidir ninguno.

## Errores comunes

1. **Usar el criterio para demostrar divergencia.** Que no se cumpla la condición de ser decreciente no implica divergencia. Solo $b_n \not\to 0$ la implica, y eso es el criterio del término n-ésimo.
2. **Incluir el signo en $b_n$.** $b_n$ es el tamaño positivo del término, sin el factor $(-1)^n$.
3. **Saltarse la comprobación de que es decreciente.** Suele cumplirse, pero hay que verificarlo, a veces con una derivada.
4. **Decir que una serie es absolutamente convergente** porque cumple este criterio.

Para comparar todos los criterios de convergencia y aprender a elegir uno, lee la guía completa de [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuáles son las condiciones del criterio de series alternadas?

La serie debe tener la forma $\sum (-1)^{n+1} b_n$ (o $\sum (-1)^n b_n$) con $b_n > 0$, los $b_n$ deben ser decrecientes (al menos a partir de cierto término) y $\lim b_n = 0$. Si se cumplen las tres, la serie converge.

### ¿Converge la serie armónica alternada?

Sí. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ cumple el criterio y converge a $\ln 2$. Solo converge condicionalmente, ya que $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

### ¿Cuál es la cota del error de una serie alternada?

Si una serie cumple el criterio, detenerse después de $N$ términos da un error no mayor que el primer término omitido: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$.

### ¿Qué pasa si una serie alternada no cumple el criterio?

Si $b_n \not\to 0$, la serie diverge por el criterio del término n-ésimo. Si solo falla la condición de ser decreciente, el criterio no es concluyente y necesitas otro método.