# Criterio del cociente (D'Alembert) para series: fórmula y ejemplos

> El criterio del cociente: calcula L = lim |a(n+1)/a(n)|. Si L < 1 la serie converge absolutamente, si L > 1 diverge, y si L = 1 no es concluyente.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/criterio-del-cociente
Actualizado: 2026-11-03

$$ L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert $$

## De un vistazo

- **L < 1:** La serie converge absolutamente
- **L > 1 o L = ∞:** La serie diverge
- **L = 1:** No concluyente: usa otro criterio
- **Ideal para:** Factoriales, exponenciales como $3^n$ y productos de estos con potencias de $n$
- **Poco útil con:** Funciones racionales de $n$ y series $p$, que siempre dan $L = 1$

## Ideas clave

- Calcula $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ y compáralo con $1$.
- $L < 1$ significa convergencia absoluta; $L > 1$ significa divergencia; $L = 1$ no dice nada.
- Recurre al criterio del cociente siempre que veas factoriales o potencias $n$-ésimas como $2^n$.
- Es la herramienta habitual para hallar el radio de convergencia de una serie de potencias.

El **criterio del cociente** decide si una serie converge fijándose en lo rápido que disminuyen sus términos. Si a partir de cierto momento cada término es una fracción fija del anterior, la serie se comporta como una [serie geométrica](/rules/geometric-series-formula) convergente.

## El criterio del cociente

Sea $\sum a_n$ una serie con términos distintos de cero (al menos para $n$ grande), y sea

$$L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$$

| Valor de $L$ | Conclusión |
| --- | --- |
| $L < 1$ | $\sum a_n$ converge absolutamente |
| $L > 1$ o $L = \infty$ | $\sum a_n$ diverge |
| $L = 1$ | No concluyente |

Si el límite no existe y no es $\infty$, el criterio tal como está enunciado no se aplica.

## Por qué funciona

Si $L < 1$, elige un número $r$ con $L < r < 1$. Para $n$ grande, cada $\lvert a_{n+1}\rvert$ es como mucho $r\lvert a_n\rvert$, así que la cola de $\sum \lvert a_n\rvert$ está acotada por una serie geométrica de razón $r$, que converge. Si $L > 1$, los términos acaban creciendo en tamaño, así que no pueden tender a $0$, y el [criterio del término n-ésimo](/rules/nth-term-test) da la divergencia.

## Cómo aplicarlo

1. Escribe $a_{n+1}$ sustituyendo cada $n$ de $a_n$ por $n + 1$.
2. Forma $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ y simplifica. Invierte la fracción de abajo y multiplica.
3. Usa $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$ y $\frac{c^{n+1}}{c^n} = c$ para simplificar.
4. Calcula el límite del valor absoluto y compáralo con $1$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una potencia por una exponencial.** Para $\sum \frac{n}{2^n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$$

Como $L = \frac{1}{2} < 1$, la serie converge.

**Ejemplo 2: un factorial.** Para $\sum \frac{3^n}{n!}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \to 0$$

$L = 0 < 1$, así que converge. (Su suma es $e^3 - 1$ si empieza en $n = 1$.)

**Ejemplo 3: divergencia.** Para $\sum \frac{n!}{10^n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to \infty$$

La serie diverge. El factorial acaba superando a cualquier exponencial.

**Ejemplo 4: signos alternados.** Para $\sum \frac{(-2)^n}{n^2}$, el valor absoluto elimina el signo:

$$\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert = 2\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 2$$

$L = 2 > 1$, así que la serie diverge.

**Ejemplo 5: no concluyente.** Para $\sum \frac{1}{n^2}$, $\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$. El criterio del cociente no da respuesta, aunque la serie converge por ser una serie $p$ con $p = 2$.

## Radio de convergencia

El criterio del cociente es la herramienta principal para las [series de potencias](/blog/power-series). Para $\sum \frac{x^n}{n}$:

$$\left\lvert \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^n} \right\rvert = \lvert x\rvert\,\frac{n}{n+1} \to \lvert x\rvert$$

La serie converge cuando $\lvert x\rvert < 1$, así que el radio de convergencia es $1$. Los extremos $x = \pm 1$ dan $L = 1$ y hay que estudiarlos por separado.

## Criterio del cociente y criterio de la raíz

El criterio de la raíz usa $L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ con los mismos tres resultados posibles. Es más cómodo cuando todo el término está elevado a la $n$, como en $\sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n$, donde $\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}$. El criterio del cociente es más cómodo cuando aparecen factoriales, porque los factoriales no tienen una raíz $n$-ésima sencilla pero se simplifican muy bien en un cociente. Cuando ambos se aplican, dan el mismo $L$.

## Errores comunes

1. **Usarlo con expresiones racionales o con raíces en $n$.** Cualquier cosa como $\frac{n^2+1}{n^4}$ da $L = 1$. Usa un criterio de comparación o el de las series $p$.
2. **Interpretar $L = 1$ como convergencia o divergencia.** Significa que el criterio no sirve.
3. **Invertir el cociente.** Es $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, el término siguiente entre el actual. El cociente al revés invierte el significado del resultado.
4. **Equivocarse con el álgebra de factoriales.** $(2(n+1))! = (2n+2)!$, que es $(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!$, no $2(n+1)!$.

Para ver cómo encaja el criterio del cociente con los criterios de la raíz, de comparación y de la integral, lee la guía completa de [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es el criterio del cociente?

Compara términos consecutivos de una serie. Si $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ es menor que $1$ la serie converge absolutamente, si es mayor que $1$ (o infinito) la serie diverge, y si $L = 1$ el criterio no es concluyente.

### ¿Qué pasa cuando el criterio del cociente da 1?

No se puede concluir nada. Tanto $\sum \frac{1}{n}$ (divergente) como $\sum \frac{1}{n^2}$ (convergente) dan $L = 1$, así que necesitas otro criterio, como el de comparación o el de la integral.

### ¿Cuándo debo usar el criterio del cociente?

Úsalo cuando los términos contengan factoriales, exponenciales como $5^n$ o $n^n$. Estas expresiones se simplifican muy bien al dividir un término entre el anterior.

### ¿El criterio del cociente demuestra convergencia absoluta o condicional?

Cuando $L < 1$ demuestra convergencia absoluta, que es más fuerte que la convergencia. Nunca puede detectar convergencia condicional, porque las series condicionalmente convergentes dan $L = 1$.