# Criterio del término n-ésimo (de divergencia): enunciado y ejemplos > El criterio del término n-ésimo: si los términos de una serie no tienden a 0, la serie diverge. Enunciado, por qué no prueba convergencia y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/criterio-del-termino-n-esimo Actualizado: 2026-11-03 $$ \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} $$ ## De un vistazo - **También llamado:** Criterio de divergencia, condición necesaria de convergencia - **Puede demostrar:** Solo la divergencia - **No puede demostrar:** La convergencia. Si $a_n \to 0$, el criterio no es concluyente - **Ejemplo clásico:** $\sum \frac{1}{n}$ tiene $a_n \to 0$ y aun así diverge - **Cuándo usarlo:** Primero, antes que cualquier otro criterio de convergencia ## Ideas clave - Si $\lim a_n \ne 0$ o el límite no existe, $\sum a_n$ diverge. - Si $\lim a_n = 0$, el criterio del término n-ésimo no dice nada; usa otro criterio. - Aplícalo siempre primero: es la forma más rápida de descartar una serie. El **criterio del término n-ésimo** (o criterio de divergencia) es la comprobación más rápida en el estudio de las series. Una serie solo puede sumar un número finito si sus términos tienden a cero, así que si no lo hacen, la serie diverge. ## El enunciado Para cualquier serie $\sum a_n$: $$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \quad\text{o el límite no existe} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ diverge}$$ La forma equivalente es una condición necesaria de convergencia: $$\sum a_n \text{ converge} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0$$ El recíproco es **falso**. Que los términos tiendan a cero es necesario, pero no suficiente. ## Por qué funciona Sea $S_n$ la $n$-ésima suma parcial. Entonces $a_n = S_n - S_{n-1}$. Si la serie converge a $S$, tanto $S_n$ como $S_{n-1}$ tienden a $S$, así que $$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$$ ## Cómo leer el resultado | Valor de $\lim a_n$ | Conclusión | | --- | --- | | Un número distinto de cero | Diverge | | $\pm\infty$ | Diverge | | No existe | Diverge | | $0$ | **No concluyente**: usa otro criterio | ```graph title: 'Los términos aₙ = n/(2n+1) tienden a 1/2, mientras que 1/n tiende a 0' caption: 'Los términos $\frac{n}{2n+1}$ se estabilizan en $\frac{1}{2}$, así que su serie diverge. Los términos $\frac{1}{n}$ sí tienden a $0$, pero eso por sí solo no hace que $\sum \frac{1}{n}$ converja.' x: [0, 12] y: [0, 1.1] functions: - expr: x/(2x+1) label: y = x/(2x+1) domain: [1, 12] - expr: 1/x label: y = 1/x domain: [1, 12] dashed: true - expr: '0.5' label: y = 1/2 dashed: true ``` ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: una expresión racional.** Para $\sum \frac{n}{2n+1}$: $$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} \ne 0$$ La serie diverge. Estás sumando indefinidamente números cercanos a $\frac{1}{2}$. **Ejemplo 2: términos que oscilan.** Para $\sum (-1)^n$, los términos alternan entre $1$ y $-1$, así que $\lim a_n$ no existe. La serie diverge. **Ejemplo 3: un término trigonométrico.** Para $\sum \cos\left(\frac{1}{n}\right)$, $\frac{1}{n} \to 0$ y $\cos 0 = 1$, así que $a_n \to 1$. La serie diverge. **Ejemplo 4: un límite famoso.** Para $\sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, los términos tienden a $e \ne 0$. La serie diverge. **Ejemplo 5: no concluyente.** Para $\sum \frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{n}$, los términos tienden a $0$ en ambos casos. El criterio no dice nada. De hecho, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge y $\sum \frac{1}{n}$ diverge, algo que muestran otros criterios (el criterio de la integral o la regla de las series $p$). ## Divergencia y convergencia de un vistazo Piensa en el criterio como una puerta. Toda serie convergente la atraviesa, porque sus términos deben tender a cero. Muchas series divergentes se quedan en la puerta, pero algunas, como la serie armónica, logran pasar y solo revelan su divergencia ante un criterio más fuerte. Así que no superar la comprobación es una respuesta definitiva, mientras que superarla solo significa que el trabajo de verdad aún está por hacer. Esta lógica en un solo sentido es lo más importante que hay que recordar del criterio. ## Errores comunes 1. **Concluir convergencia a partir de $a_n \to 0$.** Es el error más común con series. La serie armónica es el contraejemplo. 2. **Calcular el límite de las sumas parciales en lugar del de los términos.** El criterio usa $a_n$, los términos individuales. 3. **Olvidar el caso en que el límite no existe.** Los términos que oscilan, como $(-1)^n$ o $\sin n$, tampoco tienden a $0$. 4. **Saltárselo.** Aplicar el [criterio del cociente](/rules/ratio-test) a $\sum \frac{n}{2n+1}$ da un límite de $1$ y ninguna respuesta, mientras que el criterio del término n-ésimo lo resuelve al instante. ## Dónde encaja Usa el criterio del término n-ésimo como primer paso con cualquier serie. Si los términos sí tienden a cero, pasa a otra herramienta: prueba la [fórmula de la serie geométrica](/rules/geometric-series-formula) si la razón es constante, el [criterio de series alternadas](/rules/alternating-series-test) si los signos alternan y el [criterio del cociente](/rules/ratio-test) si hay factoriales y exponenciales. La guía completa de [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests) explica cómo elegir entre ellos. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué dice el criterio del término n-ésimo? Si los términos $a_n$ de una serie no tienden a $0$, la serie $\sum a_n$ diverge. Es un criterio solo de divergencia. ### ¿Puede el criterio del término n-ésimo demostrar que una serie converge? No. Si $a_n \to 0$, el criterio no es concluyente. La serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ tiene términos que tienden a $0$, pero diverge. ### ¿Qué pasa si el límite de a_n no existe? Entonces la serie también diverge. Por ejemplo, $\sum (-1)^n$ tiene términos que alternan entre $1$ y $-1$, así que no tienden a $0$. ### ¿Por qué es cierto el criterio del término n-ésimo? Si $\sum a_n$ converge a $S$, entonces $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Así que la convergencia obliga a los términos a anularse, y si los términos no se anulan, la serie no puede converger.