# Derivación implícita: pasos, fórmula y ejemplos resueltos

> La derivación implícita calcula dy/dx sin despejar y. La regla clave, un método en cuatro pasos, ejemplos con rectas tangentes y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/derivacion-implicita
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Ecuaciones que relacionan $x$ e $y$ en las que $y$ no está despejada, como $x^2 + y^2 = 25$
- **Idea clave:** Tratar $y$ como función de $x$, así que cada término con $y$ recibe un factor $\frac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena
- **Resultado:** Una fórmula para $\frac{dy}{dx}$ que normalmente contiene tanto $x$ como $y$
- **Requiere:** Regla de la cadena, y la regla del producto para términos como $xy$
- **Se usa en:** Rectas tangentes a curvas, razones de cambio relacionadas, derivadas de funciones inversas

## Ideas clave

- Deriva ambos lados respecto de $x$, tratando $y$ como función de $x$.
- Cada vez que derives un término con $y$, multiplica por $\frac{dy}{dx}$.
- Agrupa los términos con $\frac{dy}{dx}$ en un lado y saca factor común para despejar.
- La respuesta suele contener tanto $x$ como $y$. Sustituye un punto de la curva para obtener una pendiente.

La **derivación implícita** calcula $\frac{dy}{dx}$ a partir de una ecuación que mezcla $x$ e $y$, sin despejar antes $y$. Derivas ambos lados respecto de $x$, recuerdas que $y$ depende de $x$ y luego despejas $\frac{dy}{dx}$. Es la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) aplicada a $y$.

## La regla clave

Como $y$ es una función de $x$, cualquier expresión en $y$ es una composición. Por la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$

| Término | Derivada respecto de $x$ |
| --- | --- |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $y^3$ | $3y^2\,\frac{dy}{dx}$ |
| $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ (regla del producto) |

## Los cuatro pasos

1. Deriva **ambos lados** de la ecuación respecto de $x$.
2. Multiplica por $\frac{dy}{dx}$ cada vez que derives un término con $y$.
3. Pasa todos los términos con $\frac{dy}{dx}$ a un lado y todo lo demás al otro.
4. Saca $\frac{dy}{dx}$ como factor común y divide.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una circunferencia.** Deriva $x^2 + y^2 = 25$:

$$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

En el punto $(3, 4)$ la pendiente es $-\frac{3}{4}$, así que la recta tangente es $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$, o sea, $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$.

```graph
title: 'Circunferencia x² + y² = 25 con su recta tangente en (3, 4)'
caption: 'La derivación implícita da $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, así que la pendiente en $(3, 4)$ es $-\frac{3}{4}$.'
x: [-8, 10]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: mitad superior
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: mitad inferior
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: tangente en (3, 4)
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Ejemplo 2: un término producto.** Deriva $x^3 + y^3 = 6xy$, usando la regla del producto en $6xy$:

$$3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}$$

Agrupa y saca factor común:

$$\frac{dy}{dx}\left(3y^2 - 6x\right) = 6y - 3x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$

El punto $(3, 3)$ está en la curva, ya que $27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9$. Allí la pendiente es $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$.

**Ejemplo 3: obtener la derivada de $\ln x$.** Si $y = \ln x$, entonces $e^y = x$. Deriva:

$$e^y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

Esta es la idea detrás de la [derivada de la función inversa](/rules/inverse-function-rule).

**Ejemplo 4: una ecuación trigonométrica.** Deriva $\sin y = x^2$:

$$\cos y\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos y}$$

## Cuándo usar la derivación implícita

- Cuando es difícil o imposible despejar $y$ de la ecuación (como en $x^3 + y^3 = 6xy$).
- Cuando la curva no es una sola función, como una circunferencia o una elipse, y quieres las pendientes en todas sus partes.
- Cuando necesitas derivadas de funciones inversas como $\ln x$, $\arcsin x$ o $\arctan x$.
- En problemas de [razones de cambio relacionadas](/blog/related-rates), donde derivas respecto del tiempo $t$ y cada magnitud tiene su propia razón de cambio.

## Errores comunes

1. **Olvidar $\frac{dy}{dx}$ en los términos con $y$.** $\frac{d}{dx}\,y^2$ es $2y\,\frac{dy}{dx}$, no $2y$.
2. **Saltarse la regla del producto.** $\frac{d}{dx}\,xy$ es $y + x\,\frac{dy}{dx}$, no $\frac{dy}{dx}$ ni $1 \cdot \frac{dy}{dx}$.
3. **Derivar solo un lado.** Ambos lados cambian, incluido un lado constante, cuya derivada es $0$.
4. **Sustituir un punto que no está en la curva.** Comprueba que el punto cumple la ecuación original antes de usarlo.

Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre [la derivación implícita](/blog/implicit-differentiation).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la derivación implícita?

Es una forma de calcular $\frac{dy}{dx}$ a partir de una ecuación en $x$ e $y$ sin despejar $y$. Derivas ambos lados respecto de $x$ y aplicas la regla de la cadena a cada término con $y$.

### ¿Por qué se multiplica por dy/dx?

Porque $y$ es una función de $x$. Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\,y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$, igual que $\frac{d}{dx}\,(g(x))^2 = 2g(x)\,g'(x)$.

### ¿Cuándo se usa la derivación implícita?

Cuando es difícil o imposible despejar $y$, como en $x^3 + y^3 = 6xy$, o cuando la curva no es la gráfica de una sola función, como una circunferencia.

### ¿Por qué aparece y en la respuesta?

La curva puede pasar por varios puntos con la misma $x$ y pendientes distintas. La $y$ indica a qué punto te refieres.