# Derivación logarítmica: cómo derivar x^x y otras funciones > Derivación logarítmica: toma ln en ambos lados, deriva y multiplica por y. Pasos y ejemplos con x^x, potencias variables y productos complicados. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/derivacion-logaritmica Actualizado: 2026-11-03 $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] $$ ## De un vistazo - **Se aplica a:** Bases variables con exponentes variables como $x^x$, y productos o cocientes largos de potencias - **En palabras:** Toma $\ln$ en ambos lados, simplifica con las propiedades de los logaritmos, deriva y multiplica por $y$ - **Dato clave:** $\frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena - **Propiedades de los logaritmos usadas:** $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln a^k = k \ln a$ - **Resultado clásico:** $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ ## Ideas clave - Úsala cuando la variable esté a la vez en la base y en el exponente, como en $x^x$ o $x^{\sin x}$. - Los logaritmos convierten los productos en sumas y las potencias en múltiplos, que son fáciles de derivar. - Después de derivar, multiplica por $y$ y sustituye de nuevo la función original. La **derivación logarítmica** es una técnica para funciones que son difíciles de derivar directamente. Tomas el logaritmo natural en ambos lados, usas las propiedades de los logaritmos para convertir productos, cocientes y potencias en sumas y múltiplos, derivas y luego despejas $\frac{dy}{dx}$. Es el único método estándar para derivar una función como $x^x$. ## El método Partiendo de $y = f(x)$ con $f(x) > 0$: 1. Toma el logaritmo natural en ambos lados: $\ln y = \ln f(x)$. 2. Simplifica el lado derecho con las propiedades de los logaritmos. 3. Deriva ambos lados respecto a $x$. El lado izquierdo se convierte en $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ por la [regla de la cadena](/rules/chain-rule). 4. Multiplica ambos lados por $y$ y sustituye de nuevo $y = f(x)$. En una línea: $$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]$$ Si $f$ puede ser negativa, usa $\ln|y|$. La derivada de $\ln|y|$ sigue siendo $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$, así que la fórmula final no cambia. ## ¿Qué regla para cada potencia? | Forma | Ejemplo | Regla | Derivada | | --- | --- | --- | --- | | constante elevada a constante | $2^3$ | [Regla de la constante](/rules/constant-rule) | $0$ | | variable elevada a constante | $x^3$ | [Regla de la potencia](/rules/power-rule) | $3x^2$ | | constante elevada a variable | $3^x$ | Regla exponencial | $3^x\ln 3$ | | variable elevada a variable | $x^x$ | Derivación logarítmica | $x^x(\ln x + 1)$ | ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: $y = x^x$** (para $x > 0$). Toma logaritmos y baja el exponente: $$\ln y = x\ln x$$ Deriva, usando la [regla del producto](/rules/product-rule) en el lado derecho: $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ Multiplica por $y$: $$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$ ```graph title: 'Gráfica de y = xˣ y de su derivada xˣ(ln x + 1)' caption: 'La derivada se anula cuando $\ln x = -1$, en $x = \frac{1}{e} \approx 0.37$, donde $x^x$ alcanza su mínimo.' x: [0.02, 2] y: [-1, 4] functions: - expr: x^x label: y = xˣ - expr: x^x*(ln(x) + 1) label: derivada dashed: true points: - [0.368, 0.692, 'mínimo'] ``` **Ejemplo 2: $y = x^{\sin x}$** (para $x > 0$). Entonces $\ln y = \sin x \ln x$, y $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$ **Ejemplo 3: un cociente complicado.** Para $y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}$, los logaritmos lo separan todo: $$\ln y = 3\ln(x + 1) + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) - 5\ln(2x - 1)$$ Deriva cada término con la regla de la cadena: $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}$$ Por tanto, $$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}\right)$$ Las reglas del cociente y del producto darían el mismo resultado, pero con mucha más álgebra. **Ejemplo 4: demostrar la regla de la potencia.** Para $y = x^n$ con cualquier $n$ real y $x > 0$: $\ln y = n\ln x$, así que $\frac{y'}{y} = \frac{n}{x}$ e $y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}$. Así se extiende la regla de la potencia a cualquier exponente real. ## Errores comunes 1. **Usar la regla de la potencia con $x^x$.** $x \cdot x^{x-1} = x^x$ es incorrecto. El exponente no es constante. 2. **Usar la regla exponencial con $x^x$.** $x^x\ln x$ también es incorrecto. La base no es constante. Fíjate en que el resultado correcto, $x^x\ln x + x^x$, es la suma de esas dos respuestas incorrectas. 3. **Olvidar multiplicar por $y$.** Al derivar $\ln y$ se obtiene $\frac{y'}{y}$. Despeja $y'$ al final. 4. **Dejar $y$ en el resultado.** Sustituye $y$ por la función original para que la derivada quede solo en función de $x$. El método se basa en la [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) y en la derivada de $\ln x$. Para repasar las derivadas exponenciales y logarítmicas, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la derivación logarítmica? Es una técnica en la que tomas el logaritmo natural en ambos lados de $y = f(x)$, simplificas con las propiedades de los logaritmos, derivas implícitamente y despejas $\frac{dy}{dx}$ multiplicando por $y$. ### ¿Cuál es la derivada de x^x? Sea $y = x^x$, de modo que $\ln y = x\ln x$. Al derivar se obtiene $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, así que $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ para $x > 0$. ### ¿Cuándo conviene usar la derivación logarítmica? Úsala para una variable elevada a una potencia variable, y como atajo para productos y cocientes largos de potencias que exigirían varios pasos con las reglas del producto y del cociente. ### ¿Por qué no se puede usar la regla de la potencia con x^x? La regla de la potencia necesita un exponente constante y la regla exponencial necesita una base constante. En $x^x$ ambos son variables, así que no sirve ninguna de las dos.