# Derivada de la función inversa: fórmula y ejemplos resueltos

> La derivada de la función inversa: la derivada de f⁻¹ en x es 1/f'(f⁻¹(x)). La fórmula, por qué las pendientes son recíprocas y ejemplos con arcsen y ln.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/derivada-de-la-funcion-inversa
Actualizado: 2026-11-03

$$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Una función $f$ inyectiva y derivable, en los puntos donde $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$
- **Forma puntual:** Si $f(a) = b$, entonces $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$
- **Forma de Leibniz:** $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$
- **Significado gráfico:** Reflejar respecto a $y = x$ intercambia el avance vertical y el horizontal, así que las pendientes se vuelven recíprocas
- **Permite obtener:** Las derivadas de $\ln x$, $\sqrt{x}$, $\arcsin x$ y $\arctan x$

## Ideas clave

- La pendiente de $f^{-1}$ en $(b, a)$ es la recíproca de la pendiente de $f$ en $(a, b)$.
- Puedes calcular $(f^{-1})'(b)$ sin conocer la fórmula de $f^{-1}$: resuelve $f(a) = b$ y calcula $\frac{1}{f'(a)}$.
- La regla falla donde $f'(a) = 0$, porque allí la inversa tiene una tangente vertical.

La **regla de la derivada de la función inversa** da la derivada de una función inversa a partir de la derivada de la función original. Si $f$ tiene pendiente $m$ en el punto $(a, b)$, entonces $f^{-1}$ tiene pendiente $\frac{1}{m}$ en el punto simétrico $(b, a)$. Para usarla no necesitas la fórmula de la inversa.

## La fórmula de la derivada de la función inversa

Sea $f$ una función inyectiva y derivable, con inversa $f^{-1}$. Si $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $x$ y

$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$

La **forma puntual** suele ser más cómoda. Si $f(a) = b$ y $f'(a) \ne 0$:

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$

En notación de Leibniz, con $y = f(x)$ y $x = f^{-1}(y)$, se escribe $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$.

```graph
title: 'Gráficas de y = x² e y = √x reflejadas respecto a y = x'
caption: 'En $(2, 4)$ la parábola tiene pendiente $4$. En el punto simétrico $(4, 2)$ la raíz cuadrada tiene pendiente $\frac{1}{4}$.'
x: [0, 6]
y: [0, 6]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
    domain: [0, 2.45]
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [2, 4, 'pendiente 4']
  - [4, 2, 'pendiente 1/4']
```

## Por qué funciona la regla

Parte de la identidad $f(f^{-1}(x)) = x$ y deriva ambos lados con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$f'\big(f^{-1}(x)\big) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$

Divide entre $f'(f^{-1}(x))$ y obtienes la regla. Geométricamente, reflejar una gráfica respecto a $y = x$ intercambia $x$ e $y$, lo que intercambia el avance vertical y el horizontal, así que cada pendiente se convierte en su recíproca.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: sin fórmula para la inversa.** Sea $f(x) = x^3 + x + 1$, que es creciente y, por tanto, inyectiva. Calcula $(f^{-1})'(3)$.

**Paso 1.** Resuelve $f(a) = 3$: $a^3 + a + 1 = 3$ da $a = 1$.

**Paso 2.** Deriva: $f'(x) = 3x^2 + 1$, así que $f'(1) = 4$.

**Paso 3.** Toma el recíproco: $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}$.

**Ejemplo 2: la derivada de $\ln x$.** Aquí $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ y $f^{-1}(x) = \ln x$:

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$$

**Ejemplo 3: la derivada de $\arcsin x$.** Aquí $f(x) = \sin x$ en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, así que $f'(x) = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

El último paso usa $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$, que es positivo en ese intervalo. Consulta [arcoseno](/functions/arcsine).

**Ejemplo 4: la derivada de $\arctan x$.** Con $f(x) = \tan x$ y $f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$:

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Derivadas que se obtienen con la regla

| Función $f$ | Inversa $f^{-1}$ | Derivada de la inversa |
| --- | --- | --- |
| $x^2$ para $x \ge 0$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\cos x$ | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\tan x$ | $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ |

## Errores comunes

1. **Evaluar $f'$ en el punto equivocado.** $(f^{-1})'(b)$ usa $f'(a)$ con $f(a) = b$, no $f'(b)$. En el ejemplo 1, $f'(3) = 28$ daría el resultado incorrecto $\frac{1}{28}$.
2. **Confundir $f^{-1}$ con $\frac{1}{f}$.** $f^{-1}$ es la función inversa, no la recíproca. $\sin^{-1}x$ significa $\arcsin x$, no $\csc x$.
3. **Ignorar dónde $f' = 0$.** Si $f'(a) = 0$, la inversa tiene una tangente vertical en $b$ y no es derivable allí. Para $f(x) = x^3$, la inversa $\sqrt[3]{x}$ no es derivable en $0$.

El mismo resultado se obtiene con la [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation): escribe $x = f(y)$ y deriva ambos lados. Para saber más sobre $\ln x$ y $e^x$, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la fórmula de la derivada de la función inversa?

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. De forma equivalente, si $f(a) = b$, entonces $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.

### ¿Cómo se calcula la derivada de la inversa en un punto?

Busca el valor $a$ con $f(a) = b$, calcula $f'(a)$ y toma su recíproco. No hace falta encontrar $f^{-1}$.

### ¿Por qué la derivada de la inversa es un recíproco?

La gráfica de $f^{-1}$ es la gráfica de $f$ reflejada respecto a la recta $y = x$. La reflexión intercambia el avance vertical y el horizontal, así que una pendiente $m$ pasa a ser $\frac{1}{m}$.

### ¿La derivada de f inversa es lo mismo que 1 entre f prima?

No en el mismo punto. $(f^{-1})'(x)$ es igual a $\frac{1}{f'}$ evaluada en $f^{-1}(x)$, no en $x$. Usar el punto equivocado es el error más frecuente.