# Fórmula de la serie geométrica: suma a/(1 − r), convergencia

> La fórmula de la serie geométrica: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) si |r| < 1. Sumas parciales, condición de convergencia y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/formula-de-la-serie-geometrica
Actualizado: 2026-11-03

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 $$

## De un vistazo

- **Primer término:** $a$, el término que se obtiene cuando el exponente es $0$
- **Razón:** $r$, el factor que convierte cada término en el siguiente
- **Converge si:** $\lvert r\rvert < 1$
- **Diverge si:** $\lvert r\rvert \ge 1$ (y $a \ne 0$)
- **Suma parcial:** $S_N = a\,\dfrac{1 - r^N}{1 - r}$ para los primeros $N$ términos, $r \ne 1$

## Ideas clave

- Una serie geométrica infinita converge a $\frac{a}{1-r}$ exactamente cuando $\lvert r\rvert < 1$.
- $a$ es el primer término de la serie tal como está escrita, no necesariamente el coeficiente que acompaña a $r^n$.
- La suma finita de los primeros $N$ términos es $a\frac{1 - r^N}{1 - r}$.

Una **serie geométrica** suma términos que se obtienen cada uno del anterior multiplicando por el mismo número $r$. Es una de las pocas series infinitas cuya suma exacta se puede escribir, por eso es la referencia con la que se compara todo [criterio de convergencia](/blog/convergence-tests).

## La fórmula de la serie geométrica

Con primer término $a$ y razón $r$:

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}, \qquad \lvert r\rvert < 1$$

Si $\lvert r\rvert \ge 1$ y $a \ne 0$, la serie **diverge**.

La suma de los primeros $N$ términos es finita para todo $r \ne 1$:

$$S_N = a + ar + \cdots + ar^{N-1} = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

## Por qué funciona la fórmula

Multiplica $S_N$ por $r$ y resta. Casi todos los términos se cancelan:

$$S_N - rS_N = a - ar^N \quad\Longrightarrow\quad S_N = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

Cuando $\lvert r\rvert < 1$, $r^N \to 0$ cuando $N \to \infty$, así que $S_N \to \frac{a}{1-r}$. Cuando $\lvert r\rvert \ge 1$, $r^N$ no tiende a cero y las sumas parciales no tienen límite finito.

```graph
title: 'Sumas parciales de 1 + 1/2 + 1/4 + ... acercándose a 2'
caption: 'Cada suma parcial $S_N = 2 - 2^{1-N}$ cubre la mitad de la distancia que falta hasta el límite $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: '2'
    label: y = 2 (la suma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 1.5, 'S2 = 1.5']
  - [3, 1.75, 'S3 = 1.75']
  - [4, 1.875]
  - [5, 1.9375]
  - [6, 1.96875]
```

## Cómo usarla

1. **Encuentra $a$**: el primer término de la serie tal como está escrita. Sustituye el índice inicial.
2. **Encuentra $r$**: divide cualquier término entre el anterior.
3. **Comprueba que $\lvert r\rvert < 1$**. Si no se cumple, para: la serie diverge.
4. **Calcula $\frac{a}{1-r}$.**

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un clásico.** $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ tiene $a = 1$, $r = \frac{1}{2}$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$

**Ejemplo 2: el índice no empieza en 0.** En $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n$ el primer término es $3\cdot\frac{2}{3} = 2$, no $3$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2}{1 - \frac{2}{3}} = 6$$

**Ejemplo 3: una razón negativa.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ tiene $a = 1$, $r = -\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{3}{4}$$

**Ejemplo 4: un decimal periódico.** $0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots$ tiene $a = \frac{27}{100}$ y $r = \frac{1}{100}$:

$$\frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

**Ejemplo 5: divergencia.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n$ tiene $r = \frac{5}{4} > 1$, así que diverge. Los términos crecen en lugar de disminuir.

## Sumas finitas e infinitas

La fórmula finita funciona para cualquier razón excepto $r = 1$, así que incluso una serie con $r = 3$ tiene una suma de los diez primeros términos perfectamente válida: $\sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524$. Solo la suma infinita necesita $\lvert r\rvert < 1$. Cuando $r = 1$ todos los términos valen $a$, así que los primeros $N$ términos suman $Na$, y la serie infinita diverge.

## Errores comunes

1. **Usar el coeficiente en lugar del primer término.** Cuando la suma empieza en $n = 1$ o después, calcula el primer término directamente.
2. **Ignorar la condición.** $\frac{a}{1-r}$ con $r = 2$ da $-a$, un número sin sentido. Comprueba siempre primero que $\lvert r\rvert < 1$.
3. **Confundir otras series con geométricas.** $\sum \frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{2n}$ no tienen razón constante, así que la fórmula no se aplica.
4. **Perder un signo en $r$.** En una serie geométrica alternada, $r$ es negativa y $1 - r$ se convierte en $1 + \lvert r\rvert$.

## Hacia dónde lleva

Las series geométricas son el modelo del [criterio del cociente](/rules/ratio-test), que se pregunta si una serie acaba comportándose como una geométrica con $\lvert r\rvert < 1$. También dan la primera serie de potencias, $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ para $\lvert x\rvert < 1$, el punto de partida de las [series de potencias](/blog/power-series). Para ver más ejemplos, lee la guía completa de [series geométricas](/blog/geometric-series).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita?

Si el primer término es $a$ y la razón $r$ cumple $\lvert r\rvert < 1$, la suma es $\frac{a}{1-r}$. Si $\lvert r\rvert \ge 1$, la serie diverge.

### ¿Cómo se encuentra r en una serie geométrica?

Divide cualquier término entre el anterior. Para $6 + 2 + \frac{2}{3} + \cdots$, la razón es $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

### ¿Por qué diverge una serie geométrica cuando |r| es al menos 1?

Si $\lvert r\rvert \ge 1$, los términos $ar^n$ no tienden a cero, así que por el criterio del término n-ésimo la serie no puede converger.

### ¿Cómo se escribe 0,999... como serie geométrica?

$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots$, una serie geométrica con $a = \frac{9}{10}$ y $r = \frac{1}{10}$. Su suma es $\frac{9/10}{9/10} = 1$.