# Fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du y ejemplos > La fórmula de integración por partes ∫u dv = uv − ∫v du, cómo elegir u con LIATE, la versión para integrales definidas y ejemplos con ln x, x·eˣ y x·cos x. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/integracion-por-partes Actualizado: 2026-11-03 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## De un vistazo - **Invierte:** La regla del producto para derivadas - **Cuándo usarla:** El integrando es un producto de dos tipos de función distintos, como $x\,e^x$ o $x\cos x$ - **Cómo elegir u:** LIATE: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales - **Versión definida:** $\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$ - **Objetivo:** La nueva integral $\int v\,du$ debe ser más sencilla que la original ## Ideas clave - La integración por partes cambia $\int u\,dv$ por $uv - \int v\,du$. - Elige como $u$ el factor que se simplifica al derivarlo; el orden LIATE es una buena referencia. - Algunas integrales necesitan aplicar partes dos veces, y otras vuelven a la integral original, que entonces despejas. La **integración por partes** es la [regla del producto](/rules/product-rule) para derivadas, reorganizada para integrar productos. Cambia una integral por otra y, cuando $u$ y $dv$ están bien elegidos, la nueva integral es más fácil que la original. ## La fórmula de integración por partes Para funciones derivables $u$ y $v$: $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ En notación de funciones, con $u = f(x)$ y $dv = g'(x)\,dx$: $$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$$ Para una integral definida, evalúa el término $uv$ en los límites: $$\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$$ ## De dónde sale La regla del producto dice que $(uv)' = u'v + uv'$. Integra ambos lados y reordena: $$uv = \int v\,du + \int u\,dv \quad\Longrightarrow\quad \int u\,dv = uv - \int v\,du$$ ## Cómo elegir u con LIATE Elige como $u$ el factor que se vuelve más sencillo al derivarlo, y como $dv$ un factor que sepas integrar. **LIATE** ordena las opciones para $u$: | Letra | Tipo | Ejemplo | | --- | --- | --- | | L | Logarítmica | $\ln x$ | | I | Inversa trigonométrica | $\arctan x$ | | A | Algebraica | $x^2$, $3x + 1$ | | T | Trigonométrica | $\sin x$, $\cos x$ | | E | Exponencial | $e^x$, $2^x$ | Toma $u$ del primer tipo que aparezca. LIATE es una orientación, no una ley, pero funciona en casi todos los ejercicios de los libros de texto. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: $\int x\,e^x\,dx$.** Las algebraicas van antes que las exponenciales, así que $u = x$ y $dv = e^x\,dx$. Entonces $du = dx$ y $v = e^x$: $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C$$ **Ejemplo 2: $\int x\cos x\,dx$.** Toma $u = x$, $dv = \cos x\,dx$, de modo que $du = dx$ y $v = \sin x$: $$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **Ejemplo 3: $\int \ln x\,dx$.** Solo hay un factor, así que toma $u = \ln x$ y $dv = dx$. Entonces $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = x$: $$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **Ejemplo 4: una integral definida.** Usando el ejemplo 1: $$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x - e^x\big]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$$ **Ejemplo 5: partes dos veces.** En $\int x^2 e^x\,dx$, la primera vuelta con $u = x^2$ deja $\int 2x\,e^x\,dx$, que necesita una segunda vuelta. El resultado es $$\int x^2 e^x\,dx = e^x\left(x^2 - 2x + 2\right) + C$$ **Ejemplo 6: la integral vuelve a aparecer.** En $\int e^x \sin x\,dx$, aplicar partes dos veces devuelve la integral original $I$ con signo menos. Al resolver $I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$ se obtiene $$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x\left(\sin x - \cos x\right)}{2} + C$$ ## Cómo comprobar el resultado Deriva con la regla del producto y deberías recuperar el integrando. Para el ejemplo 2: $$\frac{d}{dx}\left[x\sin x + \cos x\right] = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$ La comprobación es rápida y detecta la mayoría de los errores de signo. Un hábito útil: después de elegir $u$ y $dv$, escribe $u$, $du$, $v$ y $dv$ en un pequeño cuadro de dos por dos antes de sustituir en la fórmula, para no perder nada. ## Errores comunes 1. **Elegir $u$ al revés.** Con $u = e^x$ y $dv = x\,dx$, la nueva integral $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ es más difícil que la de partida. 2. **Olvidar el signo menos.** La fórmula es $uv - \int v\,du$, con un menos. Cuando aplicas partes dos veces, sigue los signos con cuidado. 3. **No evaluar $uv$ en los límites.** En una integral definida, también hay que evaluar $uv$ de $a$ a $b$. 4. **Añadir $+C$ a $v$.** Puedes tomar cualquier antiderivada (primitiva) como $v$. Basta con un $+C$ al final. Cuando un producto es en realidad una composición por la derivada de la función interior, la [integración por sustitución](/rules/u-substitution-rule) es más rápida. Para la integración tabular, más práctica con LIATE y ejemplos más difíciles, lee la guía completa de [integración por partes](/blog/integration-by-parts). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la fórmula de integración por partes? Es $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Divides el integrando en un factor $u$ que derivas y un factor $dv$ que integras. ### ¿Qué significa LIATE? Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales. Elige $u$ del tipo que aparece antes en la lista; el resto es $dv$. En español también se recuerda como ILATE, con las inversas antes que los logaritmos. ### ¿Cómo se integra ln x? Toma $u = \ln x$ y $dv = dx$, de modo que $du = \frac{1}{x}dx$ y $v = x$. Entonces $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$. ### ¿Cuándo debo usar integración por partes en lugar de sustitución? Usa la sustitución cuando un factor sea la derivada de una función interior. Usa partes cuando tengas un producto de funciones sin relación, como un polinomio por una función exponencial, logarítmica o trigonométrica.