# Integración por sustitución (cambio de variable): pasos y ejemplos > La integración por sustitución invierte la regla de la cadena: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, cómo elegir u, cambio de límites y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/integracion-por-sustitucion Actualizado: 2026-11-03 $$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$ ## De un vistazo - **Invierte:** La regla de la cadena para derivadas - **Cuándo usarla:** El integrando contiene una función interior $g(x)$ y, salvo una constante, su derivada $g'(x)$ - **Paso clave:** Haz $u = g(x)$ y sustituye $dx$ usando $du = g'(x)\,dx$ - **Integrales definidas:** Cambia los límites a $u = g(a)$ y $u = g(b)$ - **También llamada:** Cambio de variable, sustitución u ## Ideas clave - La integración por sustitución es la regla de la cadena al revés: busca una función interior cuya derivada también aparezca. - Después de sustituir, la integral solo puede contener $u$ y $du$, sin ninguna $x$ suelta. - Si falta un factor constante no pasa nada: lo arreglas multiplicando y dividiendo. - En las integrales definidas, cambia los límites a valores de $u$ o vuelve a la variable original antes de evaluar. La **integración por sustitución** (o cambio de variable) es la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) aplicada al revés. Cuando un integrando contiene una función dentro de otra, junto con la derivada de esa función interior, un único cambio de variable lo convierte en una integral inmediata. ## La fórmula de integración por sustitución Si $u = g(x)$ es derivable y $f$ es continua, entonces $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$ La clave está en la diferencial: de $u = g(x)$ se obtiene $du = g'(x)\,dx$, que sustituye a la vez el factor sobrante y el $dx$. En una integral definida, los límites cambian junto con la variable: $$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$ ## Los pasos 1. **Elige $u$**: la función interior de una composición. 2. **Calcula $du$**: $du = g'(x)\,dx$, y despeja $dx$ o el factor que necesites. 3. **Sustituye**: reescribe toda la integral en función de $u$. No puede quedar ninguna $x$. 4. **Integra** en $u$ con una regla básica, como la [regla de la potencia para integrales](/rules/reverse-power-rule). 5. **Deshaz el cambio** con $u = g(x)$, o usa los nuevos límites en una integral definida. ## Cómo reconocerla | Forma del integrando | Buena elección de $u$ | | --- | --- | | $(\text{algo})^n \cdot (\text{su derivada})$ | ese algo | | $e^{g(x)}\,g'(x)$ | el exponente $g(x)$ | | $\sin(g(x))\,g'(x)$, $\cos(g(x))\,g'(x)$ | el ángulo $g(x)$ | | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | el denominador $g(x)$, que da $\ln\lvert g(x)\rvert$ | | $f(ax + b)$ | la expresión lineal interior $ax + b$ | ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: una potencia.** En $\int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx$, haz $u = x^2 + 1$, de modo que $du = 2x\,dx$: $$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$ **Ejemplo 2: ajustar una constante.** En $\int x\,e^{x^2}\,dx$, haz $u = x^2$, de modo que $du = 2x\,dx$ y $x\,dx = \frac{1}{2}du$: $$\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$ **Ejemplo 3: un interior lineal.** En $\int \cos(3x)\,dx$, haz $u = 3x$, de modo que $dx = \frac{1}{3}du$: $$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$$ **Ejemplo 4: aparece un logaritmo.** En $\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$, haz $u = \cos x$, de modo que $\sin x\,dx = -du$: $$\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln\lvert \cos x\rvert + C$$ **Ejemplo 5: una integral definida.** En $\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx$, haz $u = x^2 + 1$. Cuando $x = 0$, $u = 1$; cuando $x = 1$, $u = 2$: $$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ ## Cómo comprobar el resultado Deriva el resultado y deberías recuperar el integrando original, incluida la derivada interior. En el ejemplo 1, la regla de la cadena da $$\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right] = (x^2+1)^5 \cdot 2x$$ que coincide. Si la comprobación falla por un factor constante, lo más probable es que olvidaras ajustar $du$. Si falla por un factor que contiene $x$, la sustitución no era válida desde el principio y necesitas otra $u$ u otra técnica. ## Errores comunes 1. **Dejar $x$ en la integral.** En $\int x^2 e^{x^2}\,dx$ con $u = x^2$ sobra una $x$ que no se puede eliminar. Ahí la sustitución no funciona, y ninguna constante lo arregla. 2. **Olvidar sustituir $dx$.** $\int (2x+1)^3\,dx$ no es $\frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Con $du = 2\,dx$ el resultado es $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$. 3. **Mezclar límites.** Después de pasar a $u$, usa los límites en $u$. Sustituir los antiguos límites en $x$ en una expresión en $u$ da un número incorrecto. 4. **No deshacer el cambio.** El resultado de una integral indefinida debe quedar en función de $x$. ## Dónde encaja La sustitución es la primera técnica que conviene probar después de las reglas básicas y la [linealidad](/rules/integral-linearity-rules). Si el integrando es un producto de dos funciones sin relación, como $x\,e^{x}$, no hay ninguna derivada interior que encaje y la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) suele ser la herramienta adecuada. Para un recorrido paso a paso con más ejemplos, lee la guía completa de [integración por sustitución](/blog/u-substitution). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la integración por sustitución? Es la regla $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ con $u = g(x)$. Convierte una integral que procede de la regla de la cadena en una integral más sencilla en $u$. ### ¿Cómo se elige u en un cambio de variable? Elige la parte interior de una composición, como la expresión dentro de una potencia, una raíz, una exponencial o una función trigonométrica, cuya derivada también aparezca en el integrando salvo una constante. ### ¿Y si du no coincide por un factor constante? No hay problema. Si $du = 3\,dx$ pero la integral solo tiene $dx$, escribe $dx = \frac{1}{3}du$. Así solo se pueden arreglar diferencias constantes, no variables que faltan. ### ¿Hay que cambiar los límites al hacer un cambio de variable? Sí. En una integral definida, o bien conviertes los límites con $u = g(a)$ y $u = g(b)$, o bien vuelves a $x$ antes de sustituir los límites originales. No mezcles las dos opciones.