# Leyes de los límites: suma, producto, cociente y potencia

> Las leyes de los límites permiten dividir un límite en límites más sencillos. Cada ley con sus condiciones, ejemplos resueltos y los errores más comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/leyes-de-los-limites
Actualizado: 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) $$

## De un vistazo

- **Se aplican a:** Límites de sumas, diferencias, múltiplos, productos, cocientes, potencias y raíces
- **Condición clave:** Cada límite por separado debe existir y ser un número finito
- **La ley del cociente exige:** Que el límite del denominador sea distinto de cero
- **En palabras:** El límite de una combinación es la misma combinación de los límites
- **Consecuencia:** Los polinomios y las funciones racionales se pueden evaluar por sustitución directa

## Ideas clave

- Si $\lim f$ y $\lim g$ existen, puedes calcular el límite de cada parte y combinar los resultados.
- La ley del cociente solo funciona cuando el límite del denominador no es $0$.
- Cuando una ley no se aplica, como en un cociente $\frac{0}{0}$, simplifica primero la expresión.
- Las leyes de los límites son la razón por la que la sustitución directa funciona con los polinomios.

Las **leyes de los límites** son las reglas algebraicas de los límites. Dicen que si dos funciones tienden cada una a un límite finito, entonces su suma, diferencia, producto, cociente y potencias tienden a la combinación correspondiente de esos límites. Convierten un límite difícil en varios fáciles.

## Las leyes de los límites

Supón que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$, donde $L$ y $M$ son números reales, y $c$ es una constante.

| Ley | Enunciado |
| --- | --- |
| Constante | $\lim_{x \to a} c = c$ |
| Identidad | $\lim_{x \to a} x = a$ |
| Suma | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$ |
| Diferencia | $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$ |
| Múltiplo constante | $\lim_{x \to a} c\,f(x) = cL$ |
| Producto | $\lim_{x \to a} f(x)\,g(x) = LM$ |
| Cociente | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, siempre que $M \ne 0$ |
| Potencia | $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ para un entero positivo $n$ |
| Raíz | $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$, con $L > 0$ si $n$ es par |

Una regla relacionada se ocupa de las composiciones: si $\lim_{x \to a} g(x) = M$ y $f$ es continua en $M$, entonces $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(M)$. Por eso puedes meter un límite dentro de $\sin$, $e^x$, $\ln$ o una raíz cuadrada, siempre que el límite interior caiga donde la función exterior es [continua](/blog/continuity).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un polinomio.** Aplica las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia término a término:

$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3(2)^2 - 5(2) + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$

**Ejemplo 2: un cociente.** El denominador tiende a $1 + 1 = 2 \ne 0$, así que la ley del cociente se aplica:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = 2$$

**Ejemplo 3: combinar límites dados.** Supón que $\lim_{x \to 4} f(x) = 3$ y $\lim_{x \to 4} g(x) = -2$. Entonces

$$\lim_{x \to 4} \left[2f(x) - g(x)^2\right] = 2(3) - (-2)^2 = 2$$

$$\lim_{x \to 4} \frac{f(x)\,g(x)}{f(x) + 1} = \frac{(3)(-2)}{3 + 1} = -\frac{3}{2}$$

**Ejemplo 4: cuando falla la ley del cociente.** En $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ el denominador tiende a $0$, así que la ley del cociente no dice nada. Simplifica primero y luego aplica las leyes a la nueva expresión:

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$$

Se puede simplificar porque el límite nunca usa el valor en $x = 3$.

## Por qué la sustitución directa se deduce de las leyes

Todo polinomio se construye a partir de constantes y de $x$ mediante sumas, productos y potencias. Aplicar las leyes paso a paso siempre termina con el polinomio evaluado en $a$. Así que para cualquier polinomio $p$:

$$\lim_{x \to a} p(x) = p(a)$$

Lo mismo vale para una función racional $\frac{p(x)}{q(x)}$ siempre que $q(a) \ne 0$. Ese atajo se llama [sustitución directa](/rules/direct-substitution), y es lo primero que hay que probar con cualquier límite.

## Cuándo no se aplican las leyes de los límites

Las leyes necesitan que cada límite individual **exista y sea finito**. Presta atención a estas situaciones:

- **Un denominador que tiende a $0$.** Si el numerador también tiende a $0$, tienes la indeterminación $\frac{0}{0}$. Factoriza, racionaliza o usa la [regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule). Si el numerador tiende a un número distinto de cero, el límite es infinito o no existe.
- **Un límite infinito.** Formas como $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$ y $\frac{\infty}{\infty}$ no tienen un valor automático. Consulta la guía de [límites al infinito](/blog/limits-at-infinity).
- **Un límite que no existe.** Si $\lim f(x)$ no existe, no puedes separarlo. Por ejemplo, $\lim_{x \to 0} \left[\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x}\right] = 0$, aunque $\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ no existe.

## Errores comunes

1. **Usar la ley del cociente con $\frac{0}{0}$.** Escribir $\frac{0}{0}$ y detenerse, o decir que la respuesta es $0$ o $1$, es un error. Indica que hace falta más álgebra.
2. **Separar el límite antes de comprobar que existe.** La ley de la suma exige que ambos límites existan. Compruébalo primero.
3. **Olvidar la condición de la raíz.** $\lim \sqrt{f(x)}$ necesita que $f(x)$ tienda a un número positivo (o a $0$ por la derecha) para que la raíz cuadrada tenga sentido.
4. **Meter un límite dentro de una función discontinua.** La regla de la composición exige que la función exterior sea continua en el límite interior.

Para un recorrido completo por la factorización, la racionalización y otras técnicas, lee la guía sobre [cómo calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits). Si los límites son nuevos para ti, empieza por [qué es un límite](/blog/what-is-a-limit).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuáles son las leyes de los límites en cálculo?

Son reglas que dicen que el límite de una suma, diferencia, múltiplo constante, producto, cociente, potencia o raíz es igual a la misma combinación de los límites individuales, siempre que esos límites existan.

### ¿Cuándo no se puede usar la ley del cociente para límites?

Cuando el denominador tiende a $0$. En ese caso la ley no se aplica y hay que factorizar, racionalizar o usar otro método, como la regla de L'Hôpital.

### ¿Funcionan las leyes de los límites si un límite es infinito?

No directamente. Las leyes se enuncian para límites finitos. Expresiones como $\infty - \infty$ o $\frac{\infty}{\infty}$ son indeterminaciones y requieren trabajo adicional.

### ¿Funcionan las leyes de los límites con límites laterales?

Sí. Todas las leyes de los límites valen para límites por la izquierda y por la derecha y para límites cuando $x \to \pm\infty$, siempre que los límites individuales existan.