# Linealidad de la integral: suma, diferencia y múltiplo constante

> La linealidad de la integral: integra las sumas término a término y saca las constantes fuera. Fórmulas, ejemplos y errores con productos y cocientes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/linealidad-de-la-integral
Actualizado: 2026-11-03

$$ \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx $$

## De un vistazo

- **Regla de la suma:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Regla de la diferencia:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Regla del múltiplo constante:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ para cualquier constante $k$
- **No se aplica a:** Productos y cocientes: $\int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx$
- **Se cumple para:** Integrales indefinidas y definidas

## Ideas clave

- Puedes integrar una suma o una diferencia término a término.
- Los factores constantes se pueden sacar fuera del signo de integral.
- No existe una regla del producto ni del cociente para integrales: desarrolla, separa o usa una técnica como la integración por sustitución.

Las **reglas de linealidad** dicen que la integración respeta la suma y la multiplicación por constantes. Puedes separar una suma en integrales distintas y sacar los factores constantes fuera del signo de integral. Junto con la [regla de la potencia para integrales](/rules/reverse-power-rule), te permiten integrar cualquier polinomio en una sola línea.

## Las reglas de linealidad

Para funciones integrables $f$ y $g$ y constantes $a$ y $b$:

$$\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Este único enunciado contiene tres reglas:

- **Regla de la suma:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Regla de la diferencia:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Regla del múltiplo constante:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$

Las mismas reglas se cumplen para integrales definidas sobre el mismo intervalo:

$$\int_a^b \left[f(x) + g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$

## Por qué funciona la linealidad

La derivación es lineal: $\frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'$. Si $F' = f$ y $G' = g$, entonces $aF + bG$ es una antiderivada (primitiva) de $af + bg$, que es exactamente la regla. Para las integrales definidas la razón es todavía más visual: una suma de Riemann de $f + g$ es la suma de las sumas de Riemann de $f$ y de $g$, y estirar una gráfica por un factor $k$ estira cada rectángulo, y por tanto el área, por $k$.

```graph
title: 'Área bajo y = 2x² comparada con el área bajo y = x² en [0, 2]'
caption: 'Duplicar la función duplica el área: $\int_0^2 2x^2\,dx = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-1, 9]
functions:
  - expr: 2x^2
    label: y = 2x²
  - expr: x^2
    label: y = x²
    dashed: true
shade: {expr: 2x^2, from: 0, to: 2}
```

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un polinomio.** Separa, saca las constantes y aplica la regla de la potencia a cada término:

$$\int \left(8x^3 - 6x + 7\right)dx = 8\int x^3\,dx - 6\int x\,dx + \int 7\,dx = 2x^4 - 3x^2 + 7x + C$$

**Ejemplo 2: funciones de distintos tipos.** La linealidad te permite combinar reglas de familias distintas:

$$\int \left(3\cos x - \frac{2}{x} + 4e^x\right)dx = 3\sin x - 2\ln\lvert x\rvert + 4e^x + C$$

**Ejemplo 3: separa primero un cociente.** No hay regla del cociente para integrales, pero puedes dividir cada término entre el denominador:

$$\int \frac{x^2 + 3x - 1}{x}\,dx = \int \left(x + 3 - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x^2}{2} + 3x - \ln\lvert x\rvert + C$$

**Ejemplo 4: una integral definida.** Con los valores conocidos $\int_0^1 f(x)\,dx = 4$ y $\int_0^1 g(x)\,dx = -1$:

$$\int_0^1 \left[2f(x) - 5g(x)\right]dx = 2(4) - 5(-1) = 13$$

## Lo que la linealidad no permite

La linealidad solo abarca sumas y múltiplos constantes. Todas estas igualdades son **falsas** en general:

| Tentador pero incorrecto | Por qué |
| --- | --- |
| $\int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$ | No hay regla del producto para integrales |
| $\int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx}$ | No hay regla del cociente para integrales |
| $\int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx$ | $x$ no es una constante |
| $\int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx}$ | Los recíprocos no atraviesan la integral |

Cuando el integrando es un producto, intenta desarrollarlo y, si no basta, recurre a la [integración por sustitución](/rules/u-substitution-rule) o a la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule).

## Errores comunes

1. **Sacar la variable fuera.** Solo salen las constantes. En $\int 3x\sin x\,dx$ puedes sacar el $3$, no la $x$.
2. **Integrar un producto factor por factor.** $\int x(x^2+1)\,dx$ hay que desarrollarla: $\int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C$.
3. **Separar un denominador.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Puedes separar una fracción según los términos del numerador, nunca del denominador.
4. **Perder un signo en una diferencia.** Distribuye el signo menos a todos los términos de la segunda integral.

Las reglas equivalentes para derivadas son la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule) y la [regla de la suma y la diferencia](/rules/sum-and-difference-rule). Para practicar más cómo combinar estas reglas, consulta la guía de [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué significa la linealidad de la integral?

Significa que la integral de $af + bg$ es igual a $a$ por la integral de $f$ más $b$ por la integral de $g$, para constantes $a$ y $b$. En la práctica, separas las sumas y sacas las constantes fuera.

### ¿Se puede sacar una variable fuera de una integral?

No. Solo pueden salir las constantes, es decir, las cantidades que no dependen de la variable de integración. $\int x\cos x\,dx$ no es $x\int\cos x\,dx$.

### ¿La integral de un producto es el producto de las integrales?

No. Por ejemplo, $\int x \cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + C$, pero $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^4}{4}$ (salvo constantes). Los productos requieren álgebra o integración por partes.

### ¿Hace falta una +C distinta para cada término?

No. Las distintas constantes se suman en una sola constante arbitraria, así que escribes un único $+C$ al final.