# Propiedades de la integral definida: reglas, simetría y ejemplos

> Las propiedades de la integral definida: invertir los límites, intervalo nulo, aditividad, simetría de funciones pares e impares y acotación, con ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/propiedades-de-la-integral-definida
Actualizado: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx $$

## De un vistazo

- **Intervalo nulo:** $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
- **Límites invertidos:** $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
- **Constante:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Función impar:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$
- **Función par:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
- **Comparación:** Si $f(x) \le g(x)$ en $[a, b]$, entonces $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$

## Ideas clave

- Intercambiar los límites de integración cambia el signo de la integral.
- Puedes dividir una integral en cualquier punto $b$: $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$.
- En un intervalo simétrico, la integral de una función impar vale $0$ y la de una función par es el doble de la mitad derecha.
- Si $m \le f(x) \le M$ en $[a, b]$, entonces la integral está entre $m(b-a)$ y $M(b-a)$.

Las **propiedades de la integral definida** son las reglas para manipular $\int_a^b f(x)\,dx$ sin calcularla desde cero: invertir los límites, dividir el intervalo, aprovechar la simetría y estimar su tamaño. Todas se deducen de ver la integral como un área con signo, o del [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Las propiedades

Supón que $f$ y $g$ son integrables en los intervalos que intervienen.

| Propiedad | Enunciado |
| --- | --- |
| Intervalo nulo | $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ |
| Límites invertidos | $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Constante | $\int_a^b k\,dx = k(b-a)$ |
| Linealidad | $\int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$ |
| Aditividad | $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$ |
| Comparación | $f \le g$ en $[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$ |
| Acotación | $m \le f \le M$ en $[a,b]$ $\Rightarrow$ $m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a)$ |
| Simetría impar | $f(-x) = -f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$ |
| Simetría par | $f(-x) = f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$ |

Las propiedades de comparación y acotación suponen $a < b$. La aditividad se cumple para **cualquier** orden de $a$, $b$ y $c$, siempre que $f$ sea integrable en los intervalos, gracias a la regla de los límites invertidos.

## Por qué se cumplen

Si $F$ es una antiderivada (primitiva) de $f$, entonces $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$. A partir de ahí, cada propiedad es una línea de álgebra:

- intervalo nulo: $F(a) - F(a) = 0$;
- límites invertidos: $F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right)$;
- aditividad: $\left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a)$.

La linealidad tiene su propia página: [linealidad de la integral](/rules/integral-linearity-rules).

## Simetría: funciones pares e impares

```graph
title: 'Área con signo de la función impar y = x³ − 2x en [−1.5, 1.5]'
caption: 'El área de la izquierda es la imagen especular del área de la derecha con el signo contrario, así que $\int_{-1.5}^{1.5} (x^3 - 2x)\,dx = 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: x^3 - 2x
    label: y = x³ − 2x
shade: {expr: x^3 - 2x, from: -1.5, to: 1.5}
```

Una función impar es simétrica respecto al origen, así que cada trozo de área positiva tiene su trozo correspondiente de área negativa. Una función par es simétrica respecto al eje $y$, así que las dos mitades son iguales y basta con duplicar una de ellas. Comprobar primero la simetría puede convertir un cálculo largo en una sola línea.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: simetría impar.** $x^5 - 4x^3 + \sin x$ es impar, así que

$$\int_{-3}^{3} \left(x^5 - 4x^3 + \sin x\right)dx = 0$$

**Ejemplo 2: simetría par.** $x^2$ es par, así que

$$\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Ejemplo 3: aditividad y límites invertidos.** Sabiendo que $\int_0^5 f(x)\,dx = 10$ y $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$:

$$\int_2^5 f(x)\,dx = 10 - 3 = 7, \qquad \int_5^2 f(x)\,dx = -7$$

**Ejemplo 4: un valor absoluto.** Divide donde el interior cambia de signo. En $[-1, 0]$, $\lvert x\rvert = -x$; en $[0, 2]$, $\lvert x\rvert = x$:

$$\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

**Ejemplo 5: estimar con cotas.** En $[0, 1]$, $e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1$, así que

$$0.37 \approx e^{-1} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \le 1$$

Esta integral no tiene una antiderivada elemental y, aun así, las cotas la delimitan. Su valor real es aproximadamente $0.747$.

## Errores comunes

1. **Usar la simetría en un intervalo no simétrico.** $\int_{-1}^{2} x^3\,dx$ no vale $0$. El intervalo tiene que ser $[-a, a]$.
2. **Decir que una función es impar sin comprobarlo.** $x^3 + 1$ no es ni par ni impar, así que $\int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2$, no $0$.
3. **Olvidar el cambio de signo** al invertir los límites.
4. **Confundir el área con signo con el área total.** $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, pero el área sombreada total es $1$. Para calcular áreas, integra $\lvert f(x)\rvert$, como en el [área entre curvas](/blog/area-between-curves).

Para ver cómo se relacionan estas propiedades con las sumas de Riemann y el cálculo de integrales, consulta las guías sobre [sumas de Riemann](/blog/riemann-sums) y el [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué pasa si intercambias los límites de una integral definida?

La integral cambia de signo: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. Se deduce directamente de calcular $F(a) - F(b)$ en lugar de $F(b) - F(a)$.

### ¿Cuánto vale la integral de una función impar entre -a y a?

Vale $0$, porque el área con signo de la izquierda cancela exactamente el área con signo de la derecha. Por ejemplo, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$.

### ¿Se puede dividir una integral definida en dos?

Sí. Para cualquier $b$, $\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$. Así se integran las funciones definidas por partes y los valores absolutos.

### ¿La integral de a hasta a siempre vale cero?

Sí. Un intervalo de anchura cero no encierra área, así que $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ para cualquier función $f$ definida en $a$.