# Regla de la cadena para derivadas: fórmula, ejemplos y casos comunes > La regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))·g'(x). La fórmula en ambas notaciones, tabla de casos comunes, ejemplos resueltos y errores. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-la-cadena Actualizado: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$ ## De un vistazo - **Se aplica a:** Composiciones, una función dentro de otra función - **En palabras:** Derivada de la función externa (sin tocar la interna) por la derivada de la interna - **Forma de Leibniz:** $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ - **Cómo reconocerla:** Cualquier cosa distinta de $x$ sola dentro de una potencia, raíz, función trigonométrica, exponencial o logaritmo - **Versión para integrales:** Integración por sustitución ## Ideas clave - Deriva la función externa, deja la función interna sin cambios y multiplica por la derivada de la función interna. - En notación de Leibniz, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. - Úsala siempre que el argumento de una función sea algo distinto de $x$ sola. - Si hay varias capas, multiplica una derivada por capa, de afuera hacia adentro. La **regla de la cadena** sirve para derivar una composición, es decir, una función dentro de otra. Derivas la función externa, dejas la función interna como está y multiplicas por la derivada de la función interna. Casi todas las derivadas no triviales la usan. ## Fórmula de la regla de la cadena Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces $$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$$ En notación de Leibniz, con $y = f(u)$ y $u = g(x)$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ Piensa en razones de cambio que se multiplican: si $y$ cambia 3 veces más rápido que $u$, y $u$ cambia 2 veces más rápido que $x$, entonces $y$ cambia $3 \cdot 2 = 6$ veces más rápido que $x$. ## Casos comunes de la regla de la cadena Aquí $u$ es cualquier función derivable de $x$ y $u'$ es su derivada. | Función | Derivada | | --- | --- | | $u^n$ | $n\,u^{n-1}\,u'$ | | $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | | $e^u$ | $e^u\,u'$ | | $\ln u$ | $\frac{u'}{u}$ | | $\sin u$ | $\cos u \cdot u'$ | | $\cos u$ | $-\sin u \cdot u'$ | | $\tan u$ | $\sec^2 u \cdot u'$ | ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: potencia de un polinomio.** Externa: $u^5$. Interna: $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$: $$\frac{d}{dx}\,(x^2 + 1)^5 = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$$ **Ejemplo 2: trigonométrica.** Externa: $\sin u$. Interna: $u = 3x$: $$\frac{d}{dx}\,\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$$ **Ejemplo 3: exponencial.** Externa: $e^u$. Interna: $u = x^2$: $$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$ **Ejemplo 4: raíz cuadrada.** Escribe $\sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}$: $$\frac{1}{2}(4x - 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$$ **Ejemplo 5: logaritmo.** Externa: $\ln u$. Interna: $u = \cos x$: $$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$$ **Ejemplo 6: tres capas.** $\sin^2(5x)$ significa $[\sin(5x)]^2$. Quita las capas de afuera hacia adentro: el cuadrado, luego el seno y luego $5x$: $$\frac{d}{dx}\,\sin^2(5x) = 2\sin(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5 = 10\sin(5x)\cos(5x)$$ ## Cómo reconocer una composición Pregúntate: "Para evaluar esto en un número, ¿qué calcularía **al final**?". Esa última operación es la función externa. Todo aquello sobre lo que actúa es la función interna. - $(3x + 1)^4$: el último paso es elevar a la cuarta potencia. La interna es $3x + 1$. - $e^{\sin x}$: el último paso es $e^{(\ )}$. La interna es $\sin x$. - $\sin x^2$ suele significar $\sin(x^2)$: la interna es $x^2$. Pero $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$: la interna es $\sin x$. Si la función interna es simplemente $x$, la derivada interna es $1$ y la regla de la cadena no cambia nada. ## Errores comunes 1. **Olvidar la derivada interna.** $\frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3$, no $4(3x + 1)^3$. Es el error de derivación más frecuente de todos. 2. **Cambiar lo de adentro.** La derivada externa se evalúa en la función interna original: $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x$, no $\cos(2x)$. 3. **Confundirla con la regla del producto.** $\sin(x^2)$ es una composición, mientras que $x^2\sin x$ es un producto. Consulta la [regla del producto](/rules/product-rule). 4. **Detenerse después de una capa.** En $e^{\sin(2x)}$ hay tres capas, y la respuesta $2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)}$ necesita las tres derivadas. La regla de la cadena también es el motor de la [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation), de las razones de cambio relacionadas y de la [integración por sustitución](/rules/u-substitution-rule). Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre [la regla de la cadena](/blog/chain-rule). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la regla de la cadena explicada de forma sencilla? Para una función dentro de otra función, deriva la función externa dejando la interna tal como está y multiplica por la derivada de la interna. ### ¿Cómo sé cuándo usar la regla de la cadena? Úsala siempre que una función se aplique a algo distinto de $x$ sola, como $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ o $e^{4x}$. Si primero tendrías que calcular un valor interno, hay una composición. ### ¿Cómo se escribe la regla de la cadena en notación de Leibniz? Si $y$ depende de $u$ y $u$ depende de $x$, entonces $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. ### ¿Cómo se usa la regla de la cadena más de una vez? Quita las capas de afuera hacia adentro y multiplica una derivada por capa. Para $\sin^2(5x)$ se obtiene $2\sin(5x)\cdot\cos(5x)\cdot 5$.