# Regla de la constante: por qué la derivada de c es 0

> La regla de la constante dice que la derivada de cualquier constante es 0. La fórmula, una demostración de una línea, ejemplos con π y e, y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-la-constante
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\, c = 0 $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Cualquier expresión que no dependa de $x$, como $7$, $\pi$, $e^2$ o $\ln 5$
- **En palabras:** Una constante nunca cambia, así que su razón de cambio es cero
- **Significado gráfico:** La gráfica de $y = c$ es una recta horizontal, que tiene pendiente $0$ en todos sus puntos
- **Versión para integrales:** $\int 0\,dx = C$, por eso las antiderivadas terminan con $+\,C$
- **Reglas relacionadas:** Regla de la potencia, regla del múltiplo constante, regla de la suma

## Ideas clave

- La derivada de cualquier constante es $0$: $\frac{d}{dx}\,c = 0$.
- Números como $\pi$, $e^3$ y $\ln 2$ son constantes, así que sus derivadas también son $0$.
- Una constante sumada a una función desaparece al derivar. Una constante que multiplica a una función se mantiene.

La **regla de la constante** dice que la derivada de una constante es cero. Una constante nunca cambia, así que su razón de cambio es $0$ en todas partes. Es la regla de derivación más sencilla y aparece de forma discreta en casi todas las derivadas que calculas.

## Fórmula de la regla de la constante

Para cualquier constante $c$:

$$\frac{d}{dx}\, c = 0$$

"Constante" significa cualquier cosa que no dependa de la variable respecto de la cual derivas. Eso incluye los números habituales, pero también expresiones como $\pi^2$, $e^3$, $\sqrt{7}$, $\sin 1$ y $\ln 5$.

```graph
title: 'Gráfica de la función constante y = 3 y su derivada y = 0'
caption: 'La recta $y = 3$ es horizontal, así que su pendiente en cada punto es $0$. La derivada es la recta $y = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: '0'
    label: y = 0 (derivada)
    dashed: true
```

## Ejemplos

| Función | Por qué es constante | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $7$ | Es un número | $0$ |
| $-12.5$ | Es un número | $0$ |
| $\pi$ | Es un número, aproximadamente $3.14$ | $0$ |
| $e^3$ | No aparece $x$ | $0$ |
| $\ln 5$ | No aparece $x$ | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | Vale $\frac{1}{2}$ | $0$ |

**Ejemplo: término constante de un polinomio.** Con la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule), cada término se deriva por separado y el término constante desaparece:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 4x + 9\right) = 2x + 4 + 0 = 2x + 4$$

**Ejemplo: un parámetro.** Si $a$ y $b$ son constantes, entonces

$$\frac{d}{dx}\left(a^2 + bx\right) = 0 + b = b$$

El término $a^2$ parece una potencia, pero no depende de $x$, así que es una constante.

## Por qué funciona la regla de la constante

Usa la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) con $f(x) = c$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

También puedes verla como un caso particular de la [regla de la potencia](/rules/power-rule): $c = c\,x^0$, y $\frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$ (para $x \ne 0$).

## Constantes sumadas frente a constantes multiplicadas

Aquí es donde la regla de la constante se encuentra con la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule):

| Expresión | Derivada | Motivo |
| --- | --- | --- |
| $x^3 + 5$ | $3x^2$ | Una constante sumada desaparece |
| $5x^3$ | $15x^2$ | Una constante que multiplica se mantiene |
| $5$ | $0$ | Regla de la constante |
| $5x$ | $5$ | Múltiplo constante de $x$ |

Desplazar una gráfica hacia arriba o hacia abajo sumando una constante no cambia su pendiente en ningún punto, y por eso las constantes sumadas desaparecen. Estirar una gráfica por un factor multiplica todas las pendientes por ese factor, y por eso las constantes que multiplican se mantienen.

## La regla de la constante al revés

Como toda constante tiene derivada $0$, muchas funciones comparten la misma derivada: $x^2$, $x^2 + 1$ y $x^2 - 8$ tienen todas derivada $2x$. Por eso, al integrar hay que sumar una constante arbitraria:

$$\int 2x\,dx = x^2 + C$$

Consulta [antiderivadas](/blog/antiderivatives) para saber más sobre por qué hace falta el $+\,C$.

## Errores comunes

1. **Tratar expresiones constantes como variables.** $\frac{d}{dx}\,e^2 = 0$, no $2e$ ni $e^2$. El exponente es un número, no $x$.
2. **Anular un múltiplo constante.** $\frac{d}{dx}\,4x = 4$, no $0$. Solo una constante sola, o sumada, se convierte en $0$.
3. **Confundir qué variable cambia.** $\frac{d}{dx}\,t^2 = 0$ cuando $t$ es una constante, pero $\frac{d}{dt}\,t^2 = 2t$. Revisa siempre la variable del denominador de $\frac{d}{d\square}$.

La regla de la constante suele combinarse con la [regla de la potencia](/rules/power-rule) y la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule). Consulta la guía completa sobre [la regla de la potencia](/blog/power-rule) para practicar las tres a la vez.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de una constante?

Cero. Una función constante tiene una gráfica horizontal, y una recta horizontal tiene pendiente $0$ en cada punto.

### ¿Cuál es la derivada de pi?

$\pi$ es un número, aproximadamente $3.14159$, así que $\frac{d}{dx}\,\pi = 0$. Lo mismo ocurre con $\pi^2$, $e$, $e^5$ y $\sqrt{2}$.

### ¿Por qué la derivada de 5x no es 0?

$5x$ es una constante por $x$, no una constante. Por la regla del múltiplo constante, su derivada es $5 \cdot 1 = 5$.

### ¿Por qué las antiderivadas llevan + C?

Como la derivada de toda constante es $0$, funciones como $x^2$, $x^2 + 3$ y $x^2 - 10$ tienen todas derivada $2x$. El $+\,C$ representa toda esa familia.