# Regla de la potencia para integrales: fórmula, ejemplos y n = −1

> La regla de la potencia para integrales: la integral de x^n es x^(n+1)/(n+1) + C si n ≠ −1. Ejemplos con raíces y potencias negativas, y la excepción ln|x|.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-la-potencia-para-integrales
Actualizado: 2026-11-03

$$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Cualquier potencia de $x$ con exponente constante $n \ne -1$
- **En palabras:** Suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente
- **Excepción:** $\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Comprobación:** Deriva el resultado con la regla de la potencia; deberías recuperar $x^n$
- **Reglas relacionadas:** Regla de la potencia para derivadas, linealidad de la integral, integración por sustitución

## Ideas clave

- La antiderivada (primitiva) de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para toda constante $n \ne -1$.
- Primero reescribe las raíces y las fracciones como potencias: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
- El caso $n = -1$ es especial: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.
- Toda integral indefinida necesita un $+ C$.

La **regla de la potencia para integrales** da la antiderivada (primitiva) de cualquier potencia de $x$. Es la [regla de la potencia](/rules/power-rule) de las derivadas aplicada al revés: en lugar de bajar el exponente y multiplicar, subes el exponente y divides.

## La fórmula de la regla de la potencia para integrales

Para cualquier exponente constante $n \ne -1$:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Dos pasos: **suma uno** al exponente y luego **divide** entre el nuevo exponente. El $+C$ aparece porque toda función tiene infinitas antiderivadas que se diferencian en una constante.

Siempre puedes comprobar el resultado derivándolo:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{(n+1)x^{n}}{n+1} = x^n$$

```graph
title: 'Gráfica de y = x² y sus antiderivadas y = x³/3 + C'
caption: 'Cada curva discontinua es $\frac{x^3}{3} + C$ para un valor distinto de $C$. Son traslaciones verticales unas de otras y todas tienen pendiente $x^2$ en cada $x$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3
    dashed: true
  - expr: x^3/3 + 2
    label: y = x³/3 + 2
    dashed: true
  - expr: x^3/3 - 2
    label: y = x³/3 − 2
    dashed: true
```

## Ejemplos

| Integrando | Reescritura | Antiderivada |
| --- | --- | --- |
| $x^4$ | $x^4$ | $\frac{x^5}{5} + C$ |
| $x$ | $x^1$ | $\frac{x^2}{2} + C$ |
| $5$ | $5x^0$ | $5x + C$ |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{x^3}$ | $x^{-3}$ | $-\frac{1}{2x^2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2\sqrt{x} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ (excepción) |

**Ejemplo: un polinomio.** Combina la regla con la [linealidad](/rules/integral-linearity-rules) e integra término a término:

$$\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$

**Ejemplo: una potencia negativa.** Reescribe $\frac{4}{x^5}$ como $4x^{-5}$:

$$\int 4x^{-5}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{x^4} + C$$

El exponente pasa de $-5$ a $-4$. Sumar uno a un número negativo lo hace menos negativo.

**Ejemplo: una potencia fraccionaria.** Para $\int \sqrt[3]{x}\,dx$, escribe $x^{1/3}$. El nuevo exponente es $\frac{4}{3}$, y dividir entre $\frac{4}{3}$ equivale a multiplicar por $\frac{3}{4}$:

$$\int x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$$

## La excepción n = −1

Cuando $n = -1$ la fórmula obliga a dividir entre cero, así que no funciona. La antiderivada de $x^{-1}$ es el logaritmo natural:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$$

El valor absoluto hace que el resultado también sea válido para $x$ negativos. Por eso $\frac{1}{x}$ tiene su propia fila en todas las tablas de integrales.

## Cuándo usar la regla de la potencia para integrales

Úsala cuando el integrando sea una suma de términos de la forma $kx^n$, quizá después de reescribirlo:

- polinomios, término a término;
- raíces, después de pasarlas a exponentes fraccionarios;
- términos con $x$ en el denominador, después de pasarlos a exponentes negativos;
- productos o cocientes que puedas **desarrollar o separar** antes, como $\frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}$.

Si la base no es simplemente $x$, como en $(3x-2)^5$, necesitas la [integración por sustitución](/rules/u-substitution-rule). Si la variable está en el exponente, como en $2^x$, necesitas la regla exponencial $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

## Errores comunes

1. **Dividir entre el exponente antiguo.** $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$, no $\frac{x^4}{3} + C$.
2. **Aplicarla a productos.** $\int x(x+1)\,dx$ no es $\frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right)$. Desarrolla primero a $x^2 + x$.
3. **Usarla con $\frac{1}{x}$.** $\int x^{-1}\,dx$ es $\ln\lvert x\rvert + C$, no $\frac{x^0}{0}$.
4. **Olvidar el $+C$.** Una integral indefinida es toda una familia de funciones.
5. **Tratar la potencia de un binomio como una potencia de $x$.** $\int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Al derivar ese resultado aparece un factor $2$ de más.

Para una visión general de las antiderivadas, incluidas las reglas trigonométricas y exponenciales, lee la guía completa de [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla de la potencia para integrales?

Es la versión para integrales de la regla de la potencia: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$. Aumentas el exponente en uno y divides entre el nuevo exponente.

### ¿Por qué la regla de la potencia no sirve para 1/x?

Para $n = -1$ la fórmula dividiría entre $n + 1 = 0$. La antiderivada de $\frac{1}{x}$ es, en cambio, $\ln\lvert x\rvert + C$.

### ¿Cómo se integra una raíz cuadrada con la regla de la potencia?

Escribe $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$. Entonces $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### ¿Cuál es la integral de una constante?

Una constante $k$ es $kx^0$, así que la regla da $\int k\,dx = kx + C$.

### ¿Puedo usar la regla de la potencia con (2x + 1)^3?

No directamente, porque la base no es solo $x$. Usa la integración por sustitución con $u = 2x + 1$, que da $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$, o desarrolla primero el cubo.