# Regla de la potencia para derivadas: fórmula, ejemplos y demostración

> La regla de la potencia: la derivada de x^n es n·x^(n−1). Fórmula, ejemplos con exponentes negativos y fraccionarios, demostración breve y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-la-potencia
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Cualquier potencia de $x$ con exponente constante $n$ (positivo, negativo, fraccionario o decimal)
- **En palabras:** Baja el exponente como coeficiente y luego réstale uno al exponente
- **No se aplica a:** Exponenciales como $2^x$ o $e^x$, donde la variable está en el exponente
- **Versión para integrales:** $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$
- **Reglas relacionadas:** Regla del múltiplo constante, regla de la suma, regla de la cadena

## Ideas clave

- La derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$ para cualquier exponente constante $n$.
- Primero reescribe raíces y fracciones como potencias: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
- La regla de la potencia no se aplica a funciones exponenciales como $2^x$.

La **regla de la potencia** es el primer atajo de derivación que aprende la mayoría de los estudiantes, y el que más usan. Deriva cualquier potencia de $x$ en un solo paso, sin necesidad de límites.

## Fórmula de la regla de la potencia

Para cualquier exponente constante $n$:

$$\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}$$

Dos movimientos: **baja el exponente** como coeficiente y luego **réstale uno** al exponente.

```graph
title: 'Gráfica de y = x³ y su derivada y = 3x²'
caption: 'Donde $x^3$ es empinada, su derivada $3x^2$ es grande. En $x = 0$ la curva queda plana por un instante, y $3x^2 = 0$.'
x: [-2.2, 2.2]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: 3x^2
    label: y = 3x² (derivada)
    dashed: true
```

## Ejemplos

| Función | Reescritura | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $x^5$ | $x^5$ | $5x^4$ |
| $x$ | $x^1$ | $1$ |
| $7$ | $7x^0$ | $0$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\sqrt[3]{x^2}$ | $x^{2/3}$ | $\frac{2}{3}x^{-1/3}$ |

**Ejemplo: un polinomio.** Combina la regla de la potencia con la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule) y la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 5x^2 + 2x - 9\right) = 12x^2 - 10x + 2$$

**Ejemplo: una potencia negativa.** Para derivar $f(x) = \frac{3}{x^4}$, reescríbela como $3x^{-4}$:

$$f'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$$

Fíjate en que el exponente pasa de $-4$ a $-5$, no a $-3$. Restarle uno a un número negativo lo hace más negativo.

## Cuándo usar la regla de la potencia

Úsala siempre que veas una variable elevada a una potencia **constante**, después de reescribir lo necesario. En la práctica eso significa:

- polinomios, término a término;
- raíces, después de convertirlas en exponentes fraccionarios;
- términos con $x$ en el denominador, después de convertirlos en exponentes negativos;
- la capa externa de una función como $(x^2+1)^5$, junto con la regla de la cadena.

Si el exponente contiene $x$, como en $x^x$ o $3^x$, la regla de la potencia no es la herramienta adecuada. Esos casos necesitan las reglas de las exponenciales o la derivación logarítmica.

## La regla de la potencia al revés: integración

La integración deshace la derivación, así que la regla de la potencia tiene una imagen especular. Para integrar $x^n$, **súmale uno** al exponente y luego **divide** entre el nuevo exponente:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

Por ejemplo, $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. La única excepción es $n = -1$, donde $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$. Consulta la [regla de la potencia para integrales](/rules/reverse-power-rule).

## Por qué funciona la regla de la potencia

Para un exponente natural, desarrolla $(x+h)^n$ con el binomio de Newton dentro de la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative):

$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} = nx^{n-1} + h(\ldots)$$

Cuando $h \to 0$, todos los términos que contienen $h$ desaparecen y queda $nx^{n-1}$. La regla se extiende a todos los exponentes reales mediante la derivación logarítmica.

## Errores comunes

1. **Restar uno antes de bajar el exponente.** $\frac{d}{dx}x^4$ es $4x^3$, no $3x^3$.
2. **Usarla con exponenciales.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}$. La variable está en el exponente, así que necesitas la [regla de las exponenciales](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).
3. **No reescribir primero.** No puedes aplicar la regla de la potencia a $\frac{1}{x^2}$ hasta escribirla como $x^{-2}$.
4. **Olvidar la regla de la cadena.** Para $(3x+1)^4$ la regla de la potencia da solo parte de la respuesta. También hay que multiplicar por la derivada interna, $3$. Consulta la [regla de la cadena](/rules/chain-rule).

Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre [la regla de la potencia](/blog/power-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla de la potencia en cálculo?

La regla de la potencia es el atajo de derivación $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Multiplicas por el exponente y luego bajas el exponente en uno.

### ¿Funciona la regla de la potencia con exponentes negativos y fraccionarios?

Sí. Funciona con cualquier exponente real constante. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$ y $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

### ¿Cuál es la derivada de una constante con la regla de la potencia?

Una constante $c$ se puede escribir como $cx^0$, y la regla de la potencia da $0 \cdot cx^{-1} = 0$. La derivada de cualquier constante es cero.

### ¿Por qué la regla de la potencia no funciona con 2^x?

En $2^x$ la variable está en el exponente, así que es una función exponencial, no una potencia. Su derivada es $2^x \ln 2$.