# Regla de la suma y la diferencia para derivadas: fórmula y ejemplos

> La regla de la suma y la diferencia: deriva una suma o una resta término a término. La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración y los errores más comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-la-suma-y-la-diferencia
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Cualquier suma o diferencia de funciones derivables, con cualquier número de términos
- **En palabras:** Deriva término a término y conserva los signos más y menos
- **Combinada con:** La regla del múltiplo constante, da $(af + bg)' = af' + bg'$
- **No se aplica a:** Productos y cocientes, que necesitan las reglas del producto y del cociente
- **Versión para integrales:** $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

## Ideas clave

- La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y lo mismo ocurre con las diferencias.
- Funciona con cualquier número de términos, y así es como se derivan los polinomios término a término.
- No existe un atajo equivalente para los productos: $(fg)' \ne f'g'$.

La **regla de la suma y la diferencia** dice que puedes derivar una suma o una diferencia término a término. La derivada de $f + g$ es $f' + g'$, y la derivada de $f - g$ es $f' - g'$. Es la regla que hace fáciles los polinomios.

## Fórmula de la regla de la suma y la diferencia

Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$

La regla se extiende a cualquier número de términos. Combinada con la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule), dice que la derivación es **lineal**:

$$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$

## Ejemplos

**Ejemplo 1: un polinomio.** Usa la [regla de la potencia](/rules/power-rule) en cada término y la [regla de la constante](/rules/constant-rule) en la constante:

$$\frac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 8\right) = 6x - 5 + 0 = 6x - 5$$

**Ejemplo 2: funciones de distinto tipo.** Cada término usa su propia regla:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 + \sin x - e^x\right) = 4x^3 + \cos x - e^x$$

**Ejemplo 3: una diferencia con un logaritmo.**

$$\frac{d}{dx}\left(2\ln x - \sqrt{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

**Ejemplo 4: separa primero una fracción.** Cuando el denominador es un solo término, divide cada término del numerador entre él y luego usa la regla de la suma:

$$\frac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\left(x + x^{-1}\right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$$

Así evitas por completo la [regla del cociente](/rules/quotient-rule).

```graph
title: 'Gráfica de y = x³ − 3x y su derivada y = 3x² − 3'
caption: 'Derivar término a término da $3x^2 - 3$. Vale cero en $x = \pm 1$, justo donde $x^3 - 3x$ tiene sus puntos de giro.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 6]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² − 3 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, '(−1, 2)']
  - [1, -2, '(1, −2)']
```

## Por qué funciona la regla de la suma

En la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), reagrupa el cociente incremental en dos cocientes incrementales:

$$\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

Cuando $h \to 0$, la ley de la suma para límites (consulta las [leyes de los límites](/rules/limit-laws)) convierte el lado derecho en $f'(x) + g'(x)$. La regla de la diferencia es el mismo razonamiento con un signo menos.

## Lo que no cubre la regla de la suma

La regla de la suma es tan natural que a veces los estudiantes suponen que los productos y los cocientes se comportan igual. No es así:

| Expresión | Regla correcta | Derivada correcta |
| --- | --- | --- |
| $x^2 + \sin x$ | Regla de la suma | $2x + \cos x$ |
| $x^2 \sin x$ | [Regla del producto](/rules/product-rule) | $2x\sin x + x^2\cos x$ |
| $\frac{x^2}{\sin x}$ | [Regla del cociente](/rules/quotient-rule) | $\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\sin(x^2)$ | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) | $2x\cos(x^2)$ |

Comprueba que la derivada de $x^2 \sin x$ no es $2x\cos x$: por ejemplo, en $x = \frac{\pi}{2}$ la derivada correcta es $\pi$, mientras que $2x\cos x$ da $0$.

## Errores comunes

1. **Perder un signo menos.** En $\frac{d}{dx}(x^3 - \cos x)$, la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, así que la respuesta es $3x^2 + \sin x$. Controla ambos signos.
2. **Extender la regla a los productos.** $(fg)' \ne f'g'$. Usa la regla del producto.
3. **Separar una fracción cuyo denominador es una suma.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Solo puedes separar cuando el denominador es un solo término.

Para una colección completa de ejemplos con polinomios y la regla de la potencia, lee la guía completa sobre [la regla de la potencia](/blog/power-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla de la suma para derivadas?

La regla de la suma dice que $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$. Derivas cada término por separado y sumas los resultados.

### ¿Funciona la regla de la suma con más de dos términos?

Sí. Aplícala repetidamente y cada término se deriva por separado. Por eso un polinomio se puede derivar término a término.

### ¿La derivada de un producto es el producto de las derivadas?

No. La regla de la suma no tiene una versión para productos. La derivada de $f(x)g(x)$ es $f'g + fg'$ por la regla del producto.

### ¿Puedo separar una fracción para usar la regla de la suma?

Sí, cuando el denominador es un solo término. Por ejemplo, $\frac{x^3 + 2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$, cuya derivada es $2x - 2x^{-2}$.