# Regla de L'Hôpital: fórmula, condiciones y ejemplos

> La regla de L'Hôpital calcula límites 0/0 e ∞/∞ derivando el numerador y el denominador. Las condiciones exactas, ejemplos resueltos y otras indeterminaciones.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-de-lhopital
Actualizado: 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Límites con la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$
- **En palabras:** Deriva el numerador y el denominador por separado y vuelve a calcular el límite
- **También exige:** Que el nuevo límite $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ exista o sea $\pm\infty$
- **Funciona con:** $x \to a$, límites laterales y $x \to \pm\infty$
- **Otras indeterminaciones:** $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ después de reescribirlas

## Ideas clave

- Usa la regla de L'Hôpital solo con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Comprueba la forma antes, siempre.
- Deriva el numerador y el denominador por separado. No es la regla del cociente.
- Puedes aplicar la regla varias veces mientras la forma siga siendo indeterminada.
- Reescribe $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$ y las indeterminaciones exponenciales como una fracción antes de usarla.

La **regla de L'Hôpital** calcula límites de fracciones que dan $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. En lugar de la fracción original, calculas el límite de la derivada del numerador entre la derivada del denominador. Suele ser el camino más rápido para un límite que el álgebra no simplifica con facilidad.

## La regla y sus condiciones

Supón que $f$ y $g$ son derivables en un intervalo abierto alrededor de $a$ (salvo quizá en $a$), y que $g'(x) \ne 0$ ahí para $x \ne a$. Si

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{o} \quad \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$$

entonces

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

siempre que el límite de la derecha exista o sea $\pm\infty$. Lo mismo vale para los límites laterales y para $x \to \infty$ o $x \to -\infty$.

Si el límite de la derecha no existe, la regla no dice nada. El límite original puede existir de todos modos.

```graph
title: 'Gráfica de y = sen(x)/x acercándose a 1 en x = 0'
caption: 'En $x = 0$ la fracción es $\frac{0}{0}$. La regla de L''Hôpital da $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$, lo que coincide con la gráfica.'
x: [-10, 10]
y: [-0.5, 1.3]
functions:
  - expr: sin(x)/x
    label: y = sen(x)/x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)', open]
```

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: $\frac{0}{0}$.** En $x = 0$, $\frac{\sin x}{x}$ es $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

(La derivada de $\sin x$ se demuestra precisamente usando este límite, así que en un curso con demostraciones usarías el teorema del sándwich. Para calcular, el atajo está bien.)

**Ejemplo 2: aplicar la regla dos veces.** Cada paso sigue siendo $\frac{0}{0}$ hasta el último:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

**Ejemplo 3: $\frac{\infty}{\infty}$.** Cuando $x \to \infty$, tanto $\ln x$ como $x$ crecen sin límite:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$$

Así que $x$ crece más rápido que $\ln x$.

**Ejemplo 4: $0 \cdot \infty$.** Primero reescribe el producto como una fracción. Cuando $x \to 0^+$, $x \ln x$ tiene la forma $0 \cdot (-\infty)$:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

## Otras indeterminaciones

| Forma | Cómo reescribirla |
| --- | --- |
| $0 \cdot \infty$ | Escribe $fg$ como $\frac{f}{1/g}$ o $\frac{g}{1/f}$ |
| $\infty - \infty$ | Combínala en una sola fracción (denominador común o conjugado) |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | Sea $y = f^g$, toma $\ln y = g \ln f$, calcula ese límite y luego aplica la exponencial |

Por ejemplo, con $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ obtienes $\ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$, que es $\frac{0}{0}$ cuando $x \to \infty$. La regla da $\ln y \to 1$, así que $y \to e$.

## Errores comunes

1. **Usar la regla cuando la forma no es indeterminada.** $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ por [sustitución directa](/rules/direct-substitution). Derivar daría, erróneamente, $1$.
2. **Usar la regla del cociente.** Deriva $f$ y $g$ por separado. No calcules la derivada de $\frac{f}{g}$ con la [regla del cociente](/rules/quotient-rule).
3. **Saltarse la reescritura.** La regla solo se aplica a una fracción. Convierte primero los productos, las diferencias y las potencias en una fracción.
4. **No volver a comprobar la forma.** Antes de cada nueva aplicación, confirma que el nuevo límite sigue siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Para ver más ejemplos, incluidos límites al infinito e indeterminaciones exponenciales, lee la guía completa de la [regla de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuándo se puede usar la regla de L'Hôpital?

Cuando la sustitución directa da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $f$ y $g$ son derivables cerca del punto, $g'(x) \ne 0$ cerca de él, y el límite de $\frac{f'}{g'}$ existe o es infinito.

### ¿La regla de L'Hôpital es lo mismo que la regla del cociente?

No. La regla de L'Hôpital toma la derivada del numerador y la derivada del denominador por separado. La regla del cociente calcula la derivada de la fracción completa y no tiene nada que ver con este límite.

### ¿Se puede usar la regla de L'Hôpital más de una vez?

Sí. Si el nuevo límite sigue siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, aplica la regla otra vez. Comprueba la forma antes de cada aplicación.

### ¿Cómo se usa la regla de L'Hôpital con 1 elevado a infinito?

Toma el logaritmo natural para convertir la potencia en un producto, reescribe ese producto como una fracción, aplica la regla y luego calcula la exponencial del resultado.