# Regla del cociente para derivadas: fórmula, truco y ejemplos

> La regla del cociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². La fórmula, un truco para recordarla, ejemplos resueltos, cuándo evitarla y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-del-cociente
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Un cociente de dos funciones derivables, siempre que $g(x) \ne 0$
- **En palabras:** Derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado
- **¿Importa el orden?:** Sí, el numerador tiene una resta, así que empieza por $f'g$
- **Evítala cuando:** El denominador es una constante o una sola potencia de $x$
- **Se deduce de:** La regla del producto y la regla de la cadena aplicadas a $f \cdot g^{-1}$

## Ideas clave

- La derivada de $\frac{f}{g}$ es $\frac{f'g - fg'}{g^2}$. El signo menos hace que el orden importe.
- Truco: la derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado.
- Si el denominador es una constante o una sola potencia de $x$, reescribe y evita la regla del cociente.

La **regla del cociente** calcula la derivada de una función dividida entre otra. Igual que la [regla del producto](/rules/product-rule), no es lo que uno esperaría a primera vista: la derivada de $\frac{f}{g}$ no es $\frac{f'}{g'}$. El numerador tiene una resta, así que el orden de los términos importa.

## Fórmula de la regla del cociente

Si $f$ y $g$ son derivables y $g(x) \ne 0$, entonces

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}$$

El truco clásico, llamando "el de arriba" al numerador y "el de abajo" al denominador:

> **La derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado.**

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una función racional.** Para $\frac{x^2}{x + 1}$, toma $f = x^2$, $f' = 2x$, $g = x + 1$, $g' = 1$:

$$\frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

**Ejemplo 2: simplificar el numerador.** Para $\frac{3x - 1}{x^2 + 1}$:

$$\frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$

**Ejemplo 3: la derivada de $\tan x$.** Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

**Ejemplo 4: una exponencial entre una potencia.** Para $\frac{e^x}{x}$:

$$\frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

```graph
title: 'Gráfica de y = eˣ/x y su derivada eˣ(x − 1)/x²'
caption: 'La derivada vale cero en $x = 1$, donde $\frac{e^x}{x}$ alcanza su valor mínimo $e$ en $x > 0$.'
x: [0.2, 3]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: e^x/x
    label: y = eˣ/x
  - expr: e^x*(x-1)/x^2
    label: derivada
    dashed: true
points:
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Cuándo evitar la regla del cociente

Una fracción no siempre necesita la regla del cociente. Reescribir suele ser más rápido y menos propenso a errores:

| Función | Reescritura | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\frac{x^3}{5}$ | $\frac{1}{5}x^3$ | $\frac{3}{5}x^2$ |
| $\frac{4}{x^2}$ | $4x^{-2}$ | $-\frac{8}{x^3}$ |
| $\frac{x^3 + x}{x}$ | $x^2 + 1$ (para $x \ne 0$) | $2x$ |
| $\frac{2}{\sqrt{x}}$ | $2x^{-1/2}$ | $-x^{-3/2}$ |

La primera usa la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule); las demás usan la [regla de la potencia](/rules/power-rule) y la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule).

## De dónde sale la regla del cociente

Escribe $\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$. La regla del producto y la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) dan

$$f' \cdot g^{-1} + f \cdot (-g^{-2}g') = \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Así que, si olvidas la fórmula, siempre puedes recurrir a la regla del producto.

## Errores comunes

1. **Cambiar el orden en el numerador.** $fg' - f'g$ da la respuesta correcta con el signo cambiado.
2. **Olvidar elevar al cuadrado el denominador.** Abajo va $g^2$, no $g$.
3. **Dividir las derivadas.** $\left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}$.
4. **Desarrollar el denominador.** Deja $(x+1)^2$ factorizado. Así la respuesta queda más simple y es fácil ver los ceros y los cambios de signo.
5. **Confundirla con la regla de L'Hôpital.** La [regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) deriva el numerador y el denominador por separado para calcular un límite. La regla del cociente calcula una derivada.

Para una explicación más larga de ambas reglas juntas, lee la guía completa sobre [las reglas del producto y del cociente](/blog/product-and-quotient-rules).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla del cociente?

La regla del cociente dice que $\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Da la derivada de una función dividida entre otra.

### ¿Cómo se recuerda la regla del cociente?

"La derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado." El de abajo es el denominador $g$ y el de arriba es el numerador $f$.

### ¿Importa el orden en la regla del cociente?

Sí. Intercambiar los dos términos del numerador cambia el signo de la respuesta. Empieza siempre por la derivada del numerador por el denominador.

### ¿Cuándo no conviene usar la regla del cociente?

Cuando el denominador es una constante, usa la regla del múltiplo constante. Cuando es una sola potencia como $x^3$, reescribe con exponente negativo y usa la regla de la potencia.