# Regla del múltiplo constante para derivadas: fórmula y ejemplos > La regla del múltiplo constante: la derivada de c·f(x) es c·f'(x). La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración breve y los errores más comunes. Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-del-multiplo-constante Actualizado: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) $$ ## De un vistazo - **Se aplica a:** Una constante $c$ multiplicada por cualquier función derivable $f$ - **En palabras:** Se conserva la constante y se deriva la función - **Incluye la división:** Dividir entre una constante $k$ es multiplicar por $\frac{1}{k}$ - **Versión para integrales:** $\int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx$ - **Reglas relacionadas:** Regla de la potencia, regla de la suma, regla del producto ## Ideas clave - Un factor constante pasa directamente a través de la derivada: $(cf)' = cf'$. - Dividir entre una constante también cuenta: $\frac{d}{dx}\frac{x^4}{8} = \frac{4x^3}{8} = \frac{x^3}{2}$. - No necesitas la regla del producto cuando uno de los factores es una constante. La **regla del múltiplo constante** dice que un factor constante se puede sacar delante de una derivada. Para derivar $c\,f(x)$, conserva la $c$ y deriva $f$. Junto con la [regla de la potencia](/rules/power-rule) y la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule), te permite derivar cualquier polinomio a simple vista. ## Fórmula de la regla del múltiplo constante Si $c$ es una constante y $f$ es derivable, entonces $$\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)$$ Geométricamente, multiplicar una función por $c$ estira su gráfica verticalmente por un factor $c$. Todas las pendientes quedan también multiplicadas por $c$. ```graph title: 'Gráficas de y = x² e y = 3x² con rectas tangentes en x = 1' caption: 'En $x = 1$ la pendiente de $x^2$ es $2$. Triplicar la función triplica la pendiente hasta $6$.' x: [-2, 2.5] y: [-2, 8] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: 3x^2 label: y = 3x² - expr: 2x - 1 label: pendiente 2 en x = 1 dashed: true - expr: 6x - 3 label: pendiente 6 en x = 1 dashed: true points: - [1, 1, ''] - [1, 3, ''] ``` ## Ejemplos | Función | Derivada | | --- | --- | | $5x^3$ | $5 \cdot 3x^2 = 15x^2$ | | $-4\sin x$ | $-4\cos x$ | | $2e^x$ | $2e^x$ | | $\frac{x^2}{7}$ | $\frac{2x}{7}$ | | $\pi x$ | $\pi$ | | $\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ | $-6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ | **Ejemplo: una constante en el denominador.** La función $\frac{1}{3x}$ tiene una variable en el denominador, así que primero reescríbela como $\frac{1}{3}x^{-1}$: $$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{3}x^{-1} = \frac{1}{3}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$$ **Ejemplo: combinada con la regla de la suma.** Cada término conserva su coeficiente: $$\frac{d}{dx}\left(6x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3\cos x\right) = 24x^3 - x - 3\sin x$$ ## Cómo reconocer un múltiplo constante Un múltiplo constante es cualquier factor que no cambia cuando cambia $x$. Búscalo en estos lugares: - **Un número delante de un término**, como el $5$ de $5x^3$ o el $-4$ de $-4\sin x$. - **Un número en el denominador**, como el $7$ de $\frac{x^2}{7}$. Dividir entre $7$ es lo mismo que multiplicar por $\frac{1}{7}$. - **Una constante con nombre**, como $\pi$, $e^2$ o $\ln 3$. Parecen funciones o potencias, pero no contienen $x$, así que son simplemente números. - **Una letra que representa un valor fijo**, como $a$, $k$ o $m$ en una fórmula de física. En $\frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx$, la $k$ se trata exactamente igual que un número. Si el factor contiene $x$ en algún lugar, no es una constante, y necesitas la [regla del producto](/rules/product-rule) o la [regla del cociente](/rules/quotient-rule). ## Por qué funciona la regla del múltiplo constante A partir de la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), la constante sale del cociente incremental y luego del límite: $$\lim_{h \to 0} \frac{c\,f(x+h) - c\,f(x)}{h} = c \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c\,f'(x)$$ El segundo paso usa la ley del múltiplo constante para límites, de las [leyes de los límites](/rules/limit-laws). ## Linealidad La regla del múltiplo constante y la regla de la suma juntas dicen que la derivación es **lineal**: $$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$ para cualesquiera constantes $a$ y $b$. La integración tiene la misma propiedad, y por eso $\int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx$. ## Errores comunes 1. **Usar la regla del producto cuando no hace falta.** Para $7x^3$ la regla del producto da $0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2$, que es correcto pero lento. Escribe directamente $21x^2$. 2. **Confundirla con la regla de la constante.** $\frac{d}{dx}\,8x = 8$, no $0$. Solo una constante sola se convierte en $0$. 3. **Sacar una constante del argumento de una función.** $\sin(3x)$ no es $3\sin x$. Una constante dentro de la función necesita la [regla de la cadena](/rules/chain-rule): $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. 4. **Tratar una variable como constante.** En $x\,e^x$, la $x$ no es una constante, así que necesitas la [regla del producto](/rules/product-rule). Para practicar más combinando estas reglas, consulta la guía completa sobre [la regla de la potencia](/blog/power-rule). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la regla del múltiplo constante? Dice que $\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)$. Una constante que multiplica a una función se queda delante, y solo se deriva la función. ### ¿Qué diferencia hay entre la regla de la constante y la regla del múltiplo constante? La regla de la constante dice que una constante sola tiene derivada $0$. La regla del múltiplo constante dice que una constante que multiplica a una función se conserva, así que $\frac{d}{dx}\,5 = 0$ pero $\frac{d}{dx}\,5x = 5$. ### ¿Se puede usar la regla del producto en su lugar? Sí, da el mismo resultado porque la derivada de la constante es $0$, pero es trabajo extra. La regla del múltiplo constante es el atajo. ### ¿Funciona la regla del múltiplo constante con una constante en el denominador? Sí. $\frac{f(x)}{k}$ es $\frac{1}{k}f(x)$, así que su derivada es $\frac{f'(x)}{k}$. Una variable en el denominador es otra cosa y necesita la regla de la potencia o la regla del cociente.