# Regla del producto para derivadas: fórmula, ejemplos y demostración

> La regla del producto: la derivada de f·g es f'g + fg'. La fórmula, ejemplos resueltos, la versión con tres factores, una demostración breve y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/regla-del-producto
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Un producto de dos funciones derivables que dependen ambas de $x$
- **En palabras:** Derivada de la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda
- **Tres factores:** $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$
- **No hace falta cuando:** Uno de los factores es una constante (usa la regla del múltiplo constante)
- **Versión para integrales:** Integración por partes

## Ideas clave

- La derivada de $fg$ es $f'g + fg'$, no $f'g'$.
- Cada término deriva un factor y deja el otro sin tocar.
- No uses la regla del producto cuando uno de los factores es una constante, y plantéate desarrollar los productos de polinomios sencillos.

La **regla del producto** indica cómo derivar dos funciones que se multiplican. La derivada de un producto **no** es el producto de las derivadas. En su lugar, derivas un factor cada vez y sumas los resultados.

## Fórmula de la regla del producto

Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

$$\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$$

Una forma habitual de recordarla: **derivada de la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda.** De forma abreviada, $(fg)' = f'g + fg'$.

Con tres factores el patrón continúa, con un factor derivado en cada término:

$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una potencia por una función trigonométrica.** Sean $f = x^2$ y $g = \sin x$, así que $f' = 2x$ y $g' = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^2\sin x = 2x\sin x + x^2\cos x$$

**Ejemplo 2: una potencia por una exponencial.** Con $f = x$ y $g = e^x$:

$$\frac{d}{dx}\,x e^x = 1 \cdot e^x + x\,e^x = (x + 1)\,e^x$$

**Ejemplo 3: un logaritmo.** Con $f = x$ y $g = \ln x$:

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

**Ejemplo 4: dos polinomios, comprobado desarrollando.** Para $(3x + 1)(x^2 - 2)$:

$$3(x^2 - 2) + (3x + 1)(2x) = 3x^2 - 6 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 6$$

Si desarrollas primero obtienes $3x^3 + x^2 - 6x - 2$, cuya derivada también es $9x^2 + 2x - 6$.

**Ejemplo 5: tres factores.** Para $x\,e^x\sin x$:

$$\frac{d}{dx}\,x e^x \sin x = e^x\sin x + x e^x\sin x + x e^x\cos x$$

## Cuándo usar la regla del producto

Úsala cuando dos (o más) factores **dependen ambos de $x$**:

| Expresión | ¿Usar la regla del producto? |
| --- | --- |
| $x^3\cos x$ | Sí |
| $e^x \ln x$ | Sí |
| $5\sin x$ | No, $5$ es una constante: [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule) |
| $\sin(x^2)$ | No, es una composición: [regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| $\frac{x^2}{x + 1}$ | Usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule), o la regla del producto en $x^2(x+1)^{-1}$ |

Muchas derivadas necesitan la regla del producto y la regla de la cadena a la vez. Para $x^2 e^{3x}$, la regla del producto separa los factores y la regla de la cadena se encarga de $e^{3x}$: el resultado es $2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$.

## Por qué funciona la regla del producto

Parte de la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) y suma y resta $f(x+h)g(x)$ en el numerador:

$$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\,\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\,\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Cuando $h \to 0$, $f(x+h) \to f(x)$ porque las funciones derivables son continuas, y los dos cocientes incrementales se convierten en $g'(x)$ y $f'(x)$. Queda $f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Imagina un rectángulo de lados $f$ y $g$. Cuando ambos lados crecen un poco, el área gana una franja de tamaño $f'g$ a lo largo de un lado y una franja de tamaño $fg'$ a lo largo del otro.

## Errores comunes

1. **Multiplicar las derivadas.** $\frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x$. Necesitas dos términos.
2. **Derivar ambos factores en el mismo término.** Cada término tiene exactamente un factor derivado.
3. **Usarla con un múltiplo constante.** Funciona, pero pierdes tiempo. $\frac{d}{dx}\,4x^3$ es simplemente $12x^2$.
4. **Olvidar la regla de la cadena dentro de un factor.** En $x\sin(2x)$, la derivada de $\sin(2x)$ es $2\cos(2x)$, así que la respuesta es $\sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

Integrar la regla del producto da lugar a la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule). Para más ejemplos y una comparación lado a lado con la regla del cociente, lee la guía completa sobre [las reglas del producto y del cociente](/blog/product-and-quotient-rules).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla del producto en cálculo?

La regla del producto dice que $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. Derivas un factor cada vez y sumas los dos resultados.

### ¿Importa el orden en la regla del producto?

No. La suma es conmutativa, así que $f'g + fg'$ y $fg' + f'g$ son iguales. El orden solo importa en la regla del cociente, que tiene una resta.

### ¿Cómo se usa la regla del producto con tres funciones?

Deriva un factor cada vez y suma: $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Cada término tiene exactamente un factor derivado.

### ¿Cuándo conviene usar la regla del producto en lugar de desarrollar?

Desarrolla cuando el producto sea de dos polinomios cortos. Usa la regla del producto cuando un factor sea una función trigonométrica, exponencial o logarítmica, o cuando desarrollar sea largo.