# Sustitución directa en límites: cuándo funciona y qué hacer después

> La sustitución directa calcula un límite reemplazando x por el valor. Aprende cuándo funciona, cómo leer el resultado y qué hacer con 0/0 o a/0.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/reglas/sustitucion-directa
Actualizado: 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

## De un vistazo

- **Se aplica a:** Cualquier función continua en $x = a$
- **Funciona con:** Polinomios en todo punto, funciones racionales donde el denominador no se anula, y $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{x}$ en sus dominios
- **Si obtienes un número:** Ese número es el límite
- **Si obtienes 0/0:** Indeterminación: simplifica y vuelve a sustituir
- **Si obtienes a/0 con a ≠ 0:** El límite es infinito o no existe

## Ideas clave

- Si $f$ es continua en $a$, entonces $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: basta con sustituir.
- Obtener $\frac{0}{0}$ no significa que el límite no exista. Significa que primero hay que simplificar.
- Obtener $\frac{a}{0}$ con $a \ne 0$ significa que hay una asíntota vertical en $x = a$.

La **sustitución directa** es el primer paso con cualquier límite: reemplaza $x$ por el valor al que tiende y calcula. Si la función es continua en ese punto, el valor que obtienes es el límite. Si obtienes $\frac{0}{0}$ o un número entre cero, el resultado te dice qué técnica usar a continuación.

## La propiedad de sustitución directa

Si $f$ es [continua](/blog/continuity) en $x = a$, entonces

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

En realidad es la definición de continuidad leída al revés. Abarca la mayoría de las funciones que encontrarás: polinomios, funciones racionales (donde el denominador no es cero), raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas en sus dominios, y cualquier suma, producto, cociente y composición de ellas. Las [leyes de los límites](/rules/limit-laws) son las que lo garantizan.

## Cómo leer el resultado

| Obtienes | Qué significa | Siguiente paso |
| --- | --- | --- |
| Un número real $L$ | El límite es $L$ | Terminado |
| $\frac{0}{0}$ | Indeterminación | Factoriza, racionaliza o usa la regla de L'Hôpital |
| $\frac{a}{0}$ con $a \ne 0$ | Asíntota vertical | Estudia el signo por cada lado: $\pm\infty$ o no existe |
| No definido por otro motivo (como $\sqrt{-1}$) | $a$ está fuera del dominio | Estudia los límites laterales o el dominio |

```graph
title: 'Gráfica de y = (x² − 1)/(x − 1) con un hueco en x = 1'
caption: 'Sustituir $x = 1$ da $\frac{0}{0}$, pero la gráfica se acerca claramente a $2$. Tras simplificar, $x + 1$ da el límite por sustitución.'
x: [-2, 3]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: (x^2-1)/(x-1)
    label: y = (x² − 1)/(x − 1)
points:
  - [1, 2, 'hueco en (1, 2)', open]
```

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: sale un número.** Los polinomios y las funciones trigonométricas son continuos, así que sustituye:

$$\lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1) = 8 - 8 + 1 = 1 \qquad \lim_{x \to \pi} \cos x = -1$$

**Ejemplo 2: una función racional.** El denominador en $x = 3$ vale $2 \ne 0$:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{10}{2} = 5$$

**Ejemplo 3: $\frac{0}{0}$.** Sustituir $x = 2$ en $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ da $\frac{0}{0}$. Factoriza, simplifica y sustituye en la expresión más sencilla:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

**Ejemplo 4: $\frac{0}{0}$ con una raíz.** En $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$, la sustitución da $\frac{0}{0}$. Multiplica por el conjugado:

$$\frac{\sqrt{x+9} - 3}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+9} + 3}{\sqrt{x+9} + 3} = \frac{x}{x(\sqrt{x+9} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3}$$

Ahora sustituye: $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.

**Ejemplo 5: un número distinto de cero entre cero.** En $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}$, la sustitución da $\frac{1}{0}$. Por la derecha el cociente tiende a $+\infty$ y por la izquierda a $-\infty$, así que el límite bilateral no existe.

## Por qué se puede simplificar

Un límite cuando $x \to a$ depende solo de los valores de $x$ **cercanos** a $a$, nunca de $x = a$. Las funciones $\frac{x^2-4}{x-2}$ y $x + 2$ son iguales para todo $x \ne 2$, así que tienen el mismo límite en $2$. Simplificar cambia la función solo en el único punto que el límite ignora.

## Errores comunes

1. **Decir que $\frac{0}{0}$ es cero, uno o "no existe".** No es automáticamente ninguna de esas cosas. Significa "sigue trabajando".
2. **Sustituir en una función que no es continua en $a$.** En una función definida por partes, el valor $f(a)$ puede ser distinto del límite. Estudia cada lado.
3. **Detenerse en $\frac{a}{0}$.** Determina el signo por cada lado para decir si la respuesta es $\infty$, $-\infty$ o si no existe.
4. **Olvidar sustituir después de simplificar.** El objetivo de factorizar es llegar a una expresión en la que se pueda sustituir.

Cuando el álgebra se complica, la [regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) resuelve $\frac{0}{0}$ con derivadas. Para un conjunto completo de técnicas, consulta [cómo calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la sustitución directa en límites?

La sustitución directa consiste en calcular $\lim_{x \to a} f(x)$ evaluando $f(a)$. Da la respuesta correcta siempre que $f$ sea continua en $a$.

### ¿Qué significa que la sustitución directa dé 0/0?

$\frac{0}{0}$ es una indeterminación. El límite puede ser cualquier número o no existir, así que hay que factorizar, racionalizar o usar la regla de L'Hôpital.

### ¿Qué pasa si la sustitución directa da un número dividido entre cero?

Si el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador tiende a $0$, la función se dispara. Estudia los límites laterales: son $\infty$ o $-\infty$, y si son distintos, el límite bilateral no existe.

### ¿Se puede usar siempre la sustitución directa con polinomios?

Sí. Los polinomios son continuos en todo punto, así que $\lim_{x \to a} p(x) = p(a)$ para todo $a$ real.