# Teorema de Clairaut: igualdad de las derivadas parciales cruzadas > Teorema de Clairaut (o de Schwarz): si las derivadas parciales cruzadas f_xy y f_yx son continuas, son iguales. Enunciado, contraejemplo, gráfica y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-de-clairaut Actualizado: 2026-11-03 $$ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) $$ ## De un vistazo - **También llamado:** teorema de Schwarz, simetría de las derivadas segundas - **Hipótesis:** $f$ está definida en un disco alrededor de $(a, b)$, y $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son ambas continuas en ese disco - **Conclusión:** $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ - **En la práctica:** Deriva en el orden que te resulte más fácil - **Se usa para:** Comprobar si un campo vectorial es conservativo, la matriz hessiana - **Curso:** Cálculo 3 ## Ideas clave - Si las dos derivadas parciales cruzadas son continuas cerca de un punto, el orden de derivación no importa en ese punto. - Los polinomios, las exponenciales, los senos, los cosenos y sus combinaciones cumplen las hipótesis en todo su dominio. - Sin continuidad, las derivadas cruzadas pueden no coincidir, como muestra el contraejemplo clásico en el origen. - Clairaut da una prueba rápida: un campo $\langle P, Q \rangle$ con $P_y \ne Q_x$ no puede ser un gradiente. El **teorema de Clairaut**, también conocido como **teorema de Schwarz**, dice que para una función de dos variables con buen comportamiento, el orden en que calculas las derivadas parciales cruzadas no importa: derivar respecto de $x$ y luego de $y$ da el mismo resultado que derivar respecto de $y$ y luego de $x$. Es la razón por la que una función tiene una sola matriz hessiana, y no dos. ## Enunciado del teorema de Clairaut Supongamos que $f(x, y)$ está definida en un disco abierto $D$ que contiene al punto $(a, b)$. Si las derivadas parciales cruzadas $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son ambas **continuas** en $D$, entonces $$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$ Notación: $f_{xy} = (f_x)_y$ significa derivar primero respecto de $x$ y después respecto de $y$. En la forma de Leibniz, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$. El teorema se extiende a más variables y a órdenes superiores: con derivadas parciales continuas, solo importa cuántas veces aparece cada variable. ## Qué significa el teorema de Clairaut $f_{xy}$ mide cómo cambia la pendiente en la dirección $x$ de la superficie a medida que te mueves en la dirección $y$. $f_{yx}$ mide cómo cambia la pendiente en la dirección $y$ a medida que te mueves en la dirección $x$. Clairaut dice que estas dos "torsiones" de la superficie son el mismo número. Toma $f(x, y) = x^2 y$. Al cortar la superficie con $y$ fijo se obtienen las curvas $y = 1$: $x^2$, $y = 2$: $2x^2$, $y = 3$: $3x^2$. ```graph title: 'Teorema de Clairaut: cortes de f(x, y) = x²y en y = 1, 2, 3' caption: 'En $x = 1$ los cortes tienen pendientes en $x$ de $2$, $4$ y $6$, así que $f_x$ crece $2$ por cada unidad de $y$: $f_{xy}(1, y) = 2$. Si se calcula primero $f_y = x^2$ y luego $f_{yx} = 2x = 2$, se obtiene el mismo número.' x: [-2, 2] y: [-0.5, 8] functions: - expr: x^2 label: corte y = 1 - expr: 2x^2 label: corte y = 2 - expr: 3x^2 label: corte y = 3 points: - [1, 1, 'pendiente 2'] - [1, 2, 'pendiente 4'] - [1, 3, 'pendiente 6'] vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Por qué importa la continuidad: el contraejemplo clásico Define $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ A lo largo de los ejes, un cálculo directo a partir de la definición por límite da $f_x(0, y) = -y$ y $f_y(x, 0) = x$. Por lo tanto $$f_{xy}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1, \qquad f_{yx}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$ Las derivadas cruzadas no coinciden. Esto no contradice el teorema de Clairaut: $f_{xy}$ y $f_{yx}$ no son continuas en el origen, así que la hipótesis no se cumple. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: verifica Clairaut para $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$.** **Paso 1.** Derivadas parciales primeras: $$f_x = 3x^2 y^2 + y\cos(xy), \qquad f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$$ **Paso 2.** Deriva $f_x$ respecto de $y$ (regla del producto en $y\cos(xy)$): $$f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ **Paso 3.** Deriva $f_y$ respecto de $x$ (regla del producto en $x\cos(xy)$): $$f_{yx} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ Coinciden, tal como predice Clairaut para una función construida con polinomios y senos. **Ejemplo 2: elige el orden más fácil.** Halla $f_{xy}$ para $f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4)$, en cualquier $(x, y)$. Derivar primero respecto de $x$ obliga a aplicar la regla de la cadena en $e^{x^2}$ y después en $\ln(1 + y^4)$. En su lugar, usa $f_{xy} = f_{yx}$: $$f_y = e^{x^2} + \frac{4xy^3}{1 + y^4}, \qquad f_{yx} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$$ Todas las derivadas parciales son continuas en todas partes, así que $f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$. **Ejemplo 3: una prueba de campo conservativo.** Si $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f$, entonces $P = f_x$ y $Q = f_y$, así que Clairaut obliga a que $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. - $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle$: $P_y = 2x = Q_x$, compatible con un gradiente, y de hecho $\mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3)$. - $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$: $P_y = 1$ pero $Q_x = -1$, así que $\mathbf{F}$ no es el gradiente de ninguna función. ## Errores comunes 1. **Leer la notación de Leibniz en el orden equivocado.** $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ significa derivar primero respecto de $x$. Cuando Clairaut se aplica, el orden no importa, pero en el contraejemplo sí. 2. **Suponer la igualdad sin continuidad.** Las funciones definidas por partes, con un valor aparte en un punto, son justo donde Clairaut puede fallar. 3. **Creer que $P_y = Q_x$ por sí solo demuestra que un campo es conservativo.** Es una condición necesaria; solo es suficiente en una región simplemente conexa, un detalle sutil ligado al [teorema de Green](/theorems/greens-theorem). ## Teoremas y guías relacionados Para calcular derivadas parciales, consulta [derivadas parciales](/blog/partial-derivatives). El teorema de Clairaut está detrás de la prueba del rotacional para campos conservativos que se usa con el [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) y el [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem), y hace que el [desarrollo de Taylor](/theorems/taylors-theorem) en varias variables sea simétrico. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué dice el teorema de Clairaut? Si $f(x, y)$ está definida en un disco que contiene a $(a, b)$ y las derivadas parciales cruzadas $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son ambas continuas en ese disco, entonces $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. ### ¿Las derivadas parciales cruzadas son siempre iguales? No. Son iguales cuando son continuas, lo que abarca casi todas las funciones que verás en un curso. La función $f = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ con $f(0, 0) = 0$ tiene $f_{xy}(0, 0) = -1$ pero $f_{yx}(0, 0) = 1$. ### ¿Qué significa f_xy? Significa derivar primero respecto de $x$ y después respecto de $y$: $f_{xy} = (f_x)_y$. En notación de Leibniz se escribe $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$, con las variables leídas de derecha a izquierda. ### ¿El teorema de Clairaut funciona para derivadas terceras? Sí. Si todas las derivadas parciales que intervienen son continuas, cualquier derivada cruzada depende solo de cuántas veces derivas respecto de cada variable, no del orden. Por ejemplo, $f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx}$.