# Teorema de Fermat sobre extremos locales: enunciado y ejemplos > Teorema de Fermat: si f tiene un máximo o mínimo local en c y existe f'(c), entonces f'(c) = 0. Enunciado, gráfica, por qué falla el recíproco y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-de-fermat Actualizado: 2026-11-03 $$ f'(c) = 0 $$ ## De un vistazo - **También llamado:** teorema de Fermat de los puntos estacionarios, teorema del extremo interior - **Hipótesis:** $f$ tiene un máximo o un mínimo local en un punto interior $c$, y existe $f'(c)$ - **Conclusión:** $f'(c) = 0$ - **Recíproco:** Falso: $f'(c) = 0$ no garantiza un extremo, como muestra $x^3$ en $0$ - **Se usa para:** Hallar puntos críticos, el método del intervalo cerrado, la optimización - **Curso:** Cálculo 1 ## Ideas clave - En un máximo o un mínimo local donde la derivada existe, la recta tangente es horizontal. - Por tanto, todo extremo local está en un punto crítico: $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe. - El recíproco es falso. Un punto crítico puede no ser ni máximo ni mínimo, como $x = 0$ para $x^3$. - El teorema trata de puntos interiores. Los extremos en los bordes de un intervalo no tienen por qué tener pendiente cero. El **teorema de Fermat** (sobre extremos locales) dice que en la cima de una colina o en el fondo de un valle de una gráfica suave, la recta tangente es horizontal. Es el teorema que respalda el paso más habitual del cálculo: para hallar un máximo o un mínimo, iguala la derivada a cero. ## Enunciado del teorema de Fermat Supongamos que 1. $f$ tiene un **máximo local o un mínimo local** en $c$, es decir, $f(c) \ge f(x)$ (o $f(c) \le f(x)$) para todo $x$ en algún intervalo abierto alrededor de $c$, y 2. $f'(c)$ **existe**. Entonces $$f'(c) = 0$$ Como la definición de extremo local usa un intervalo abierto alrededor de $c$, el punto $c$ debe ser un punto interior del dominio, no un extremo del intervalo. ## Qué significa el teorema de Fermat En un máximo local, la función sube hasta $c$ y baja después. Justo a la derecha de $c$, el cociente incremental $\frac{f(c + h) - f(c)}{h}$ es $\le 0$, y justo a la izquierda es $\ge 0$. Si la derivada existe, los dos límites laterales son el mismo número, y el único número que es a la vez $\le 0$ y $\ge 0$ es $0$. ```graph title: 'Teorema de Fermat: tangentes horizontales en el máximo y el mínimo locales de y = x³ − 3x' caption: 'El máximo local en $x = -1$ y el mínimo local en $x = 1$ tienen ambos rectas tangentes horizontales, así que $f''(-1) = f''(1) = 0$.' x: [-2.5, 2.5] y: [-4, 4] functions: - expr: x^3 - 3x label: y = x³ − 3x - expr: '2' label: tangentes horizontales dashed: true domain: [-2, 0] - expr: '-2' dashed: true domain: [0, 2] points: - [-1, 2, 'máximo local (−1, 2)'] - [1, -2, 'mínimo local (1, −2)'] ``` ## Por qué importa cada hipótesis, y por qué falla el recíproco **La derivada debe existir.** $f(x) = |x|$ tiene un mínimo en $x = 0$, pero $f'(0)$ no existe por el pico. El teorema de Fermat no dice nada ahí. Por eso los puntos críticos incluyen los puntos donde $f'$ no está definida. **El punto debe ser interior.** En $[0, 1]$, $f(x) = x$ tiene su máximo en el extremo $x = 1$, y sin embargo $f'(1) = 1 \ne 0$. Los extremos alcanzados en los bordes del intervalo no están cubiertos por el teorema, así que el método del intervalo cerrado los comprueba aparte. **El recíproco es falso.** $f(x) = x^3$ tiene $f'(0) = 0$, pero $x^3$ es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, así que $0$ no es un extremo local. Una tangente horizontal convierte a $c$ en un **candidato**, nada más. Sigues necesitando el criterio de la primera o de la segunda derivada. ## Puntos críticos El teorema de Fermat justifica esta definición: un **punto crítico** de $f$ es un número $c$ de su dominio donde $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe. Dicho de otro modo, todo extremo local de $f$ se da en un punto crítico. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: $f(x) = x^4 - 4x^3$.** **Paso 1.** $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$. **Paso 2.** Puntos críticos: $x = 0$ y $x = 3$. Por el teorema de Fermat, son los únicos extremos locales posibles. **Paso 3.** Clasifica. $f'(x) < 0$ para $x < 0$ y para $0 < x < 3$, y $f'(x) > 0$ para $x > 3$. La función decrece al pasar por $x = 0$, así que $x = 0$ no es un extremo, igual que en $x^3$. En $x = 3$ pasa de decrecer a crecer, así que $f(3) = 81 - 108 = -27$ es un mínimo local. **Ejemplo 2: un punto crítico donde $f'$ no existe.** Para $f(x) = x^{2/3}$, $$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ que nunca vale $0$ y no está definida en $x = 0$. Así que $x = 0$ es el único punto crítico, y como $f(x) \ge 0 = f(0)$ para todo $x$, es un mínimo. Resolver solo $f'(x) = 0$ lo pasaría por alto. **Ejemplo 3: optimización.** Dos números suman $10$. Maximiza su producto $P(x) = x(10 - x)$. Como el máximo está en un punto interior y $P$ es derivable, el teorema de Fermat dice que $P'(x) = 10 - 2x = 0$, así que $x = 5$ y el producto máximo es $25$. Consulta [problemas de optimización](/blog/optimization-problems) para ver más. ## Errores comunes 1. **Suponer que $f'(c) = 0$ implica un extremo.** Clasifica siempre los puntos críticos con una tabla de signos o con la segunda derivada. 2. **Ignorar los puntos donde $f'$ no está definida.** Los picos y las cúspides también son puntos críticos. 3. **Olvidar los extremos del intervalo.** En un intervalo cerrado, los extremos absolutos pueden estar en los bordes, donde el teorema de Fermat no se aplica. ## Teoremas relacionados El teorema de Fermat se combina con el [Teorema del Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem) para dar el método del intervalo cerrado, y es el paso clave para demostrar el [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) y, después, el [Teorema del Valor Medio](/theorems/mean-value-theorem). Para clasificar puntos críticos y trazar gráficas, lee [trazado de curvas con derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es el teorema de Fermat en cálculo? Dice que si $f$ tiene un máximo local o un mínimo local en $c$ y $f$ es derivable en $c$, entonces $f'(c) = 0$. Es la razón por la que buscamos extremos igualando la derivada a cero. ### ¿Es cierto el recíproco del teorema de Fermat? No. $f(x) = x^3$ tiene $f'(0) = 0$, pero $x = 0$ no es un máximo ni un mínimo local, porque la función crece a ambos lados. Una derivada nula solo convierte a $c$ en un candidato. ### ¿Es lo mismo que el último teorema de Fermat? No. El último teorema de Fermat es un resultado de teoría de números sobre la ecuación $x^n + y^n = z^n$. En cálculo, el teorema de Fermat se refiere al resultado sobre extremos locales $f'(c) = 0$. ### ¿Qué es un punto crítico? Un punto crítico de $f$ es un número $c$ del dominio donde $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe. El teorema de Fermat dice que todo extremo local se da en un punto crítico.