# Teorema de Green: enunciado, orientación y ejemplos resueltos > El teorema de Green convierte una integral de línea sobre una curva cerrada en una integral doble sobre la región interior. Enunciado, área y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-de-green Actualizado: 2026-11-03 $$ \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$ ## De un vistazo - **Hipótesis:** $C$ es una curva cerrada simple, suave a trozos y orientada positivamente que limita una región $D$, y $P$, $Q$ tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a $D$ - **Orientación positiva:** Antihoraria, de modo que la región queda a tu izquierda - **Integrando:** $Q_x - P_y$, el rotacional escalar de $\langle P, Q \rangle$ - **Fórmula del área:** $A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$ - **Se generaliza a:** El teorema de Stokes en tres dimensiones - **Curso:** Cálculo 3 ## Ideas clave - El teorema de Green convierte una integral de línea cerrada en una integral doble de $Q_x - P_y$ sobre la región encerrada. - La curva debe recorrerse en sentido antihorario; en sentido horario cambia el signo. - $P$ y $Q$ necesitan derivadas parciales continuas en toda la región, incluidos los posibles agujeros. Una singularidad en el interior hace que el teorema falle. - Elegir $Q_x - P_y = 1$ convierte una integral de línea en una fórmula para el área. El **teorema de Green** relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada del plano con una integral doble sobre la región que encierra. Dice que la circulación total alrededor de la frontera es igual a la suma de todas las pequeñas circulaciones del interior. ## Enunciado del teorema de Green Sean 1. $C$ una curva del plano **cerrada simple**, **suave a trozos** y **orientada positivamente** (en sentido antihorario), 2. $D$ la región limitada por $C$, y 3. $P(x, y)$ y $Q(x, y)$ funciones con **derivadas parciales continuas** en una región abierta que contiene a $D$. Entonces $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$ En forma vectorial, con $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, el lado izquierdo es la circulación $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ y el integrando de la derecha es el rotacional escalar $Q_x - P_y$. ## Qué significa el teorema de Green Divide $D$ en cuadraditos y suma la circulación de $\mathbf{F}$ alrededor de cada uno. Cada arista interior la recorren dos cuadrados vecinos en sentidos opuestos, así que esas contribuciones se cancelan. Solo sobrevive la frontera exterior. Por otro lado, la circulación alrededor de un cuadradito es aproximadamente $(Q_x - P_y)$ por su área. Sumar de las dos maneras da el teorema de Green. ```graph title: 'Región del teorema de Green: entre y = x² e y = x para 0 ≤ x ≤ 1' caption: 'La frontera $C$ se recorre en sentido antihorario: por la parábola $y = x^2$ de $(0, 0)$ a $(1, 1)$, y de vuelta por la recta $y = x$. La región $D$ queda a la izquierda.' x: [-0.2, 1.3] y: [-0.2, 1.3] functions: - expr: x label: y = x (arriba, recorrida de derecha a izquierda) domain: [0, 1] - expr: x^2 label: y = x² (abajo, recorrida de izquierda a derecha) domain: [0, 1] shade: {expr: x, from: 0, to: 1, below: x^2} points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1, 1, '(1, 1)'] ``` ## Por qué importa cada hipótesis **Orientación.** Recorrer $C$ en sentido horario invierte el signo de la integral de línea, mientras que la integral doble no cambia. Comprueba siempre el sentido. **Continuidad en todo el interior.** El campo de vórtice $$\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2},\; \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$$ tiene $Q_x - P_y = 0$ en todos los puntos salvo en el origen, donde no está definido. Sobre la circunferencia unidad $x = \cos t$, $y = \sin t$, la integral de línea es $\int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi$, no $0$. El teorema de Green no se aplica porque el origen, que está dentro de $D$, es un punto donde $P$ y $Q$ ni siquiera están definidas. **Curva cerrada.** Si la curva no se cierra, no hay región encerrada, así que el teorema no dice nada. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: calcula $\oint_C xy\,dx + x^2\,dy$ alrededor de la región de la gráfica.** **Paso 1.** $P = xy$ y $Q = x^2$, así que $Q_x - P_y = 2x - x = x$. **Paso 2.** La región es $x^2 \le y \le x$ para $0 \le x \le 1$: $$\iint_D x\,dA = \int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **Comprobación directa.** A lo largo de $y = x^2$ ($x = t$, $0 \to 1$) el integrando es $t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt$, que aporta $\frac{3}{4}$. A lo largo de $y = x$, de vuelta de $(1, 1)$ a $(0, 0)$, es $2t^2\,dt$ con $t$ de $1$ a $0$, que aporta $-\frac{2}{3}$. El total es $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. La misma respuesta, con más trabajo. **Ejemplo 2: área de una elipse.** Elige $P = -\frac{y}{2}$ y $Q = \frac{x}{2}$, de modo que $Q_x - P_y = 1$ y la integral doble es el área: $$A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$ Para la elipse $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$: $x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$. Así que $A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab$. **Ejemplo 3: un campo complicado, una respuesta fácil.** Calcula $\oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy$ sobre la circunferencia unidad, en sentido antihorario. Aquí $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$, así que la integral es $2 \cdot \text{area} = 2\pi$. ## Errores comunes 1. **Cambiar el orden en el integrando.** Es $Q_x - P_y$, no $P_y - Q_x$ ni $P_x - Q_y$. 2. **Ignorar la orientación.** Una curva recorrida en sentido horario da la integral doble cambiada de signo. 3. **Usarlo cuando hay una singularidad dentro.** Comprueba que $P$ y $Q$ sean suaves en todo $D$, no solo sobre $C$. ## Teoremas y guías relacionados El teorema de Green es el caso plano del [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem), y su forma de flujo es el [teorema de la divergencia](/theorems/divergence-theorem) en dos dimensiones. Como $Q_x - P_y = 0$ para los campos gradiente por el [teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem), los campos conservativos tienen circulación nula. Para las integrales dobles del lado derecho, consulta [integrales dobles](/blog/double-integrals). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué dice el teorema de Green? Para una curva cerrada simple $C$, suave a trozos y orientada positivamente, que limita una región $D$, y funciones $P$, $Q$ con derivadas parciales continuas cerca de $D$, se cumple $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$. ### ¿Qué es la orientación positiva en el teorema de Green? El sentido antihorario alrededor de la región o, más en general, el sentido en el que la región queda a tu izquierda al recorrer la curva. Recorrerla en sentido horario multiplica la integral de línea por $-1$. ### ¿Cuándo debo usar el teorema de Green? Úsalo cuando una integral de línea sobre una curva cerrada sea tediosa, sobre todo si la curva tiene varias piezas, y $Q_x - P_y$ sea sencillo. Úsalo también al revés para calcular áreas con una integral de línea. ### ¿Por qué falla el teorema de Green para el campo de vórtice alrededor del origen? El campo $\left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$ tiene $Q_x - P_y = 0$ fuera del origen, pero no está definido en el origen. Si la curva encierra el origen, la hipótesis no se cumple y, de hecho, la integral de línea sobre la circunferencia unidad vale $2\pi$, no $0$.