# Teorema de la divergencia (teorema de Gauss): enunciado y ejemplos > El teorema de la divergencia: el flujo saliente de un campo vectorial por una superficie cerrada es la integral triple de su divergencia. Enunciado y ejemplos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-de-la-divergencia Actualizado: 2026-11-03 $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV $$ ## De un vistazo - **También llamado:** teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradski - **Hipótesis:** $E$ es una región sólida cuya frontera $S$ es una superficie cerrada, suave a trozos y orientada hacia fuera, y $\mathbf{F}$ tiene derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a $E$ - **Divergencia:** $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$ para $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ - **En palabras:** El flujo total que sale por la superficie es igual a la intensidad total de las fuentes del interior - **Versión en 2D:** La forma de flujo del teorema de Green - **Curso:** Cálculo 3 ## Ideas clave - El flujo saliente a través de una superficie cerrada es igual a la integral triple de la divergencia sobre el sólido que encierra. - La superficie debe ser cerrada y estar orientada hacia fuera. Si la superficie es abierta, ciérrala primero y resta la pieza añadida. - $\mathbf{F}$ debe ser suave en todo el sólido. Una fuente puntual en el interior, como un campo de cuadrado inverso, hace que el teorema falle. - Úsalo cuando la divergencia sea más sencilla que el campo, o cuando la superficie tenga muchas piezas. El **teorema de la divergencia**, también llamado teorema de Gauss, dice que el flujo total de un campo vectorial hacia fuera de una superficie cerrada es igual a la divergencia total del campo en su interior. Lo que sale a través de la piel tiene que ser producido por fuentes del interior. ## Enunciado del teorema de la divergencia Sean 1. $E$ una región sólida del espacio cuya frontera $S$ es una **superficie cerrada y suave a trozos**, 2. $S$ orientada con la normal **exterior** $\mathbf{n}$, y 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ con **derivadas parciales continuas** en una región abierta que contiene a $E$. Entonces $$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV, \qquad \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ Aquí $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ es el flujo saliente. ## Qué significa el teorema de la divergencia Piensa en $\mathbf{F}$ como la velocidad de un fluido. La divergencia en un punto es la tasa a la que se crea fluido allí por unidad de volumen: positiva en una fuente, negativa en un sumidero. Sumar toda la creación dentro del sólido da la cantidad total que sale por su superficie. Igual que en el [teorema de Green](/theorems/greens-theorem), el flujo a través de cada pared interna entre cajitas diminutas se cancela, y solo queda la frontera exterior. ## Por qué importa cada hipótesis **Suavidad en el interior.** El campo de cuadrado inverso $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$, donde $\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle$, tiene $\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$ en todas partes salvo en el origen, donde no está definida. Sin embargo, en la esfera unidad $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1$, así que el flujo es el área de la superficie, $4\pi$, y no $0$. El teorema falla porque $E$ contiene el punto singular. Esto es exactamente la ley de Gauss: el flujo mide la carga puntual del interior. **Una superficie cerrada.** El flujo a través de una superficie abierta, como un hemisferio, no queda determinado solo por la divergencia. Primero cierra la superficie. **Orientación hacia fuera.** Usar normales hacia dentro cambia el signo del flujo. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: $\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ a través de una esfera de radio $R$.** **Paso 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$. **Paso 2.** $\iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$. **Comprobación directa.** En la esfera, $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}$, así que $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$. El flujo es $R$ por el área $4\pi R^2$, es decir, $4\pi R^3$. **Ejemplo 2: $\mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle$ a través de la esfera unidad.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2$ en coordenadas esféricas. Entonces $$\iiint_E 3\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 3\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 3\cdot\frac{1}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{12\pi}{5}$$ Calcular este flujo como integral de superficie costaría mucho más trabajo. **Ejemplo 3: un cubo con seis caras.** Halla el flujo saliente de $\mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle$ a través de la superficie del cubo unidad $[0, 1]^3$. **Paso 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1$. **Paso 2.** Integra sobre el cubo término a término (cada una de las otras variables integra a $1$): $$\iiint_E (2x + z + 1)\,dV = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$ Una sola integral triple sustituye a seis integrales de superficie distintas. ## Errores comunes 1. **Aplicarlo a una superficie abierta.** El teorema necesita la frontera cerrada de un sólido. 2. **Pasar por alto una singularidad.** Comprueba que $\mathbf{F}$ esté definido y sea suave en todos los puntos del interior, sobre todo en el origen. 3. **Confundir la divergencia con el rotacional.** La divergencia es un escalar, $P_x + Q_y + R_z$; el rotacional es un vector y pertenece al [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem). ## Teoremas y guías relacionados El teorema de la divergencia, el [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) y el [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) son versiones de una misma idea: integrar una derivada sobre una región es igual a integrar el campo original sobre la frontera, igual que en el [teorema fundamental del cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Para la parte de la integral triple, empieza por las [integrales dobles](/blog/double-integrals), y para las operaciones con vectores consulta [vectores, producto escalar y producto vectorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué dice el teorema de la divergencia? Si $E$ es una región sólida con superficie frontera cerrada $S$ orientada hacia fuera, y $\mathbf{F}$ tiene derivadas parciales continuas en una región que contiene a $E$, entonces $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$. ### ¿Cuándo se usa el teorema de la divergencia? Úsalo para calcular el flujo a través de una superficie cerrada, como una esfera, un cubo o un cilindro con tapas, sobre todo cuando la divergencia es una expresión sencilla. Una sola integral triple sustituye a varias integrales de superficie. ### ¿Se puede usar el teorema de la divergencia en una superficie abierta? No directamente. Añade una superficie que la cierre, como un disco plano en un hemisferio, aplica el teorema a la superficie cerrada y luego resta el flujo a través de la pieza añadida. ### ¿Cuál es la diferencia entre el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes? El teorema de la divergencia relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la divergencia en el volumen interior. El teorema de Stokes relaciona la circulación alrededor de una curva cerrada con el flujo del rotacional a través de una superficie limitada por esa curva.