# Teorema de Taylor: fórmula del resto y cota del error con ejemplos

> El teorema de Taylor con el resto de Lagrange: qué tan cerca está un polinomio de Taylor de f(x). Enunciado, cota del error, gráfica y ejemplos con e y sen x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-de-taylor
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $$

## De un vistazo

- **Hipótesis:** $f$ tiene $n + 1$ derivadas en un intervalo abierto $I$ que contiene a $a$, y $x$ está en $I$
- **Polinomio de Taylor:** $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$
- **Resto (forma de Lagrange):** $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algún $c$ entre $a$ y $x$
- **Cota del error:** $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$ donde $|f^{(n+1)}| \le M$
- **Caso n = 0:** El teorema del valor medio
- **Curso:** Cálculo 2

## Ideas clave

- El teorema de Taylor dice que $f(x)$ es igual a su polinomio de Taylor de grado $n$ más un resto que se puede acotar.
- El resto de Lagrange se parece al siguiente término de la serie, con la derivada evaluada en un $c$ desconocido.
- Acota $|f^{(n+1)}|$ por $M$ en el intervalo para obtener la cota del error $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$.
- Una serie de Taylor es igual a $f$ exactamente cuando el resto tiende a $0$ cuando $n \to \infty$.

El **teorema de Taylor** dice que una función suave es igual a su polinomio de Taylor más un término de error, y le da a ese término de error una forma exacta. Así, la idea de que "el polinomio de Taylor es una buena aproximación" se convierte en un número garantizado de decimales correctos.

## Enunciado del teorema de Taylor

Supongamos que $f$ tiene derivadas hasta el orden $n + 1$ en un intervalo abierto $I$ que contiene a $a$. Sea

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

el polinomio de Taylor de grado $n$ de $f$ en $a$. Entonces, para cada $x$ en $I$ existe un número $c$ **entre $a$ y $x$** tal que

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

Esta es la **forma de Lagrange del resto**. Cuando $a = 0$, el polinomio se llama polinomio de Maclaurin.

## Desigualdad de Taylor (la cota del error)

Casi nunca conoces $c$, así que en su lugar acotas la derivada. Si $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ y $x$, entonces

$$|f(x) - P_n(x)| = |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$$

La cota se hace pequeña rápidamente porque $(n+1)!$ crece más deprisa que cualquier potencia.

## Qué significa el teorema de Taylor

El resto se parece exactamente al siguiente término de la serie de Taylor, salvo que la derivada se evalúa en algún punto $c$ en lugar de en $a$. Para $n = 0$ el enunciado es $f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)$, que es el [teorema del valor medio](/theorems/mean-value-theorem). El teorema de Taylor es su versión de orden superior.

```graph
title: 'Teorema de Taylor: los polinomios de Taylor de sen(x) en 0 se pegan a la curva cerca de 0'
caption: 'Los polinomios de Maclaurin de grado 1, 3 y 5 de $\sin x$. Cerca de $x = 0$ el error es diminuto; crece con $|x|$ y disminuye al aumentar el grado.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen(x)
  - expr: x
    label: grado 1, y = x
    dashed: true
  - expr: x - x^3/6
    label: grado 3, y = x − x³/6
    dashed: true
  - expr: x - x^3/6 + x^5/120
    label: grado 5
    dashed: true
```

## Por qué importan las hipótesis

**Suficientes derivadas.** La fórmula del resto usa $f^{(n+1)}$. Para $f(x) = |x|$ en $a = 0$, $f'(0)$ no existe, así que ni siquiera hay un polinomio de Taylor de grado 1.

**Un resto que no disminuye.** El teorema de Taylor siempre se cumple cuando se cumplen sus hipótesis, pero no promete que el error tienda a $0$. La función $f(x) = e^{-1/x^2}$ (con $f(0) = 0$) tiene todas sus derivadas iguales a $0$ en $x = 0$, así que todos sus polinomios de Taylor en $0$ son el polinomio cero. El resto $R_n(x) = f(x)$ nunca disminuye, y la serie de Taylor converge a $0$, no a $f$. Una función es igual a su [serie de Taylor](/blog/taylor-series) solo cuando $R_n(x) \to 0$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: aproxima $e$ con $P_4$ y acota el error.**

**Paso 1.** Para $f(x) = e^x$ en $a = 0$, todas las derivadas son $e^x$ y valen $1$ en $0$. Así que

$$P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2.70833$$

**Paso 2.** En $[0, 1]$, $f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3$, así que tomamos $M = 3$.

**Paso 3.** $|R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025$.

El error real es $e - 2.70833 \approx 0.00995$, holgadamente dentro de la cota.

**Ejemplo 2: $\sin(0.1)$ con gran precisión.**

El polinomio de Maclaurin $P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$ da $\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333$. Como el coeficiente de $x^4$ del seno es $0$, $P_4 = P_3$, así que podemos usar $R_4$. Todas las derivadas de $\sin$ están acotadas por $M = 1$:

$$|R_4(0.1)| \le \frac{1}{5!}(0.1)^5 = \frac{0.00001}{120} \approx 8.3 \times 10^{-8}$$

Por tanto, $0.0998333$ es correcto al menos hasta el sexto decimal.

**Ejemplo 3: ¿cuántos términos para $e^{0.5}$ con error menor que $0.001$?**

En $[0, 0.5]$, $e^t \le e^{0.5} < 2$, así que $|R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$.

| $n$ | Cota $\frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ |
| --- | --- |
| $2$ | $\frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042$ |
| $3$ | $\frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052$ |
| $4$ | $\frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052$ |

La cota baja de $0.001$ por primera vez en $n = 4$, así que $P_4(0.5)$ es suficientemente preciso.

## Errores comunes

1. **Usar $(n)!$ en lugar de $(n+1)!$.** El resto tras un polinomio de grado $n$ usa la derivada de orden $(n+1)$ y $(n+1)!$.
2. **Acotar la derivada solo en $a$.** $M$ debe acotar $|f^{(n+1)}|$ en todo el intervalo entre $a$ y $x$.
3. **Suponer que la serie de Taylor siempre es igual a $f$.** Solo lo es cuando el resto tiende a $0$.

## Teoremas y guías relacionados

El teorema de Taylor generaliza el [teorema del valor medio](/theorems/mean-value-theorem). Para construir los propios polinomios y series, consulta [series de Taylor](/blog/taylor-series) y [series de potencias](/blog/power-series). En varias variables, el desarrollo de Taylor de segundo orden usa derivadas parciales mixtas, que según el [teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) pueden calcularse en cualquier orden.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el teorema de Taylor?

Si $f$ tiene $n + 1$ derivadas en un intervalo que contiene a $a$ y a $x$, entonces $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$, donde $P_n$ es el polinomio de Taylor de grado $n$ en $a$ y $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algún $c$ entre $a$ y $x$.

### ¿Qué es la cota del error de Lagrange?

Si $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ y $x$, entonces el error al usar $P_n(x)$ para aproximar $f(x)$ es como máximo $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. Es lo mismo que la desigualdad de Taylor.

### ¿Cómo sé cuántos términos del polinomio de Taylor necesito?

Escribe la cota del error como función de $n$ y aumenta $n$ hasta que la cota sea menor que la precisión que necesitas. El factorial del denominador hace que la cota disminuya rápidamente.

### ¿Qué diferencia hay entre el teorema de Taylor y una serie de Taylor?

Una serie de Taylor es la suma infinita de todos los términos. El teorema de Taylor trata sobre un polinomio finito y da una fórmula exacta para el error que queda, que es como se demuestra que una serie de Taylor converge a la función.