# Teorema del Sándwich: enunciado, idea de la prueba y ejemplos

> El teorema del sándwich (del emparedado): si g ≤ f ≤ h cerca de a y g y h tienen el mismo límite L, f también tiende a L. Enunciado, gráfica y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-del-sandwich
Actualizado: 2026-11-03

$$ g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L $$

## De un vistazo

- **También llamado:** Teorema del emparedado, teorema del encaje, teorema de compresión o del acotamiento
- **Hipótesis:** $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $a$, y $g$ y $h$ tienen el mismo límite $L$ en $a$
- **Conclusión:** $\lim_{x \to a} f(x) = L$
- **Ideal para:** Límites con un factor oscilante acotado, como $\sin\frac{1}{x}$ o $\cos x$
- **Uso famoso:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- Atrapa la función entre dos funciones más sencillas que tengan el mismo límite, y la función se ve obligada a compartirlo.
- Las dos funciones que acotan deben tener el mismo límite. Si las cotas tienden a valores distintos, el teorema no dice nada.
- La desigualdad solo tiene que cumplirse cerca de $a$, no en todas partes, y no hace falta que se cumpla en el propio $a$.
- La mayoría de los problemas del sándwich parten de $-1 \le \sin(\text{anything}) \le 1$ o de $-1 \le \cos(\text{anything}) \le 1$.

El **teorema del sándwich**, también conocido como teorema del emparedado, del encaje o de compresión, permite hallar un límite que no puedes calcular directamente atrapando la función entre dos funciones cuyos límites sí sabes calcular. Si la cota inferior y la cota superior tienden al mismo número, la función atrapada entre ellas también debe tender a él.

## Enunciado del teorema del sándwich

Sean $f$, $g$ y $h$ funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a $a$, salvo quizá en el propio $a$. Supongamos que

1. $g(x) \le f(x) \le h(x)$ para todo $x$ de ese intervalo con $x \ne a$, y
2. $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$.

Entonces

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

El mismo enunciado vale para límites laterales y para límites cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$, siempre que la desigualdad se cumpla en el intervalo lateral correspondiente o para todo $|x|$ suficientemente grande.

## Qué dice el teorema del sándwich en palabras sencillas

Imagina dos curvas que se juntan en un único punto sobre $x = a$. Cualquier curva dibujada entre ellas no tiene espacio para ir a otro sitio cerca de $a$, así que queda pellizcada y pasa por ese mismo punto. El teorema convierte ese dibujo en una regla: nunca tienes que calcular $\lim f(x)$ directamente, solo los límites de las dos cotas.

```graph
title: 'Teorema del sándwich: y = x² sen(1/x) atrapada entre y = −x² e y = x²'
caption: 'La curva oscilante $x^2\sin\frac{1}{x}$ siempre se mantiene entre $-x^2$ y $x^2$. Ambas cotas tienden a $0$ en $x = 0$, así que ella también.'
x: [-0.6, 0.6]
y: [-0.4, 0.4]
functions:
  - expr: x^2 sin(1/x)
    label: y = x² sen(1/x)
  - expr: x^2
    label: y = x²
    dashed: true
  - expr: -x^2
    label: y = −x²
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'límite 0', open]
```

## Por qué importa cada hipótesis

**Las cotas deben tener el mismo límite.** Todo $x \ne 0$ cumple $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$, pero las cotas tienden a $-1$ y $1$, que son distintos. El teorema no da ninguna conclusión, y de hecho $\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ no existe: la función toma todos los valores de $[-1, 1]$ infinitas veces cerca de $0$.

**La desigualdad debe cumplirse cerca de $a$.** Una cota que solo vale lejos de $a$ no dice nada sobre el límite en $a$. En cambio, puede fallar en el propio $a$, o lejos de él, sin ningún problema. Solo importa un intervalo pequeño alrededor de $a$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}$.**

**Paso 1.** Acota el factor oscilante: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ para todo $x \ne 0$.

**Paso 2.** Multiplica por $x^2$, que es positivo para $x \ne 0$, así que las desigualdades mantienen su sentido:

$$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$$

**Paso 3.** Tanto $-x^2$ como $x^2$ tienden a $0$ cuando $x \to 0$. Por el teorema del sándwich, $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$.

La sustitución directa falla aquí porque $\sin\frac{1}{0}$ no está definido, y la regla del producto para límites falla porque $\lim \sin\frac{1}{x}$ no existe. El teorema del sándwich es la herramienta adecuada.

**Ejemplo 2: $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$.**

Para $x > 0$, de $-1 \le \cos x \le 1$ se obtiene

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}$$

Ambas cotas tienden a $0$ cuando $x \to \infty$, así que $\frac{\cos x}{x} \to 0$. Consulta [límites en el infinito](/blog/limits-at-infinity) para ver más límites de este tipo.

**Ejemplo 3: el famoso límite $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.**

Un argumento geométrico con la circunferencia unitaria muestra que para $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$,

$$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$$

Cuando $x \to 0$, $\cos x \to 1$ y la constante $1$ se queda en $1$. El teorema del sándwich da $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Este único límite es la razón de que $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, como se muestra en [derivadas de funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Cómo usar el teorema del sándwich

1. Encuentra la parte que se porta mal, normalmente un seno o un coseno de algo que se dispara.
2. Acótala con constantes, por lo general $-1$ y $1$.
3. Multiplica o suma para reconstruir $f(x)$ en el medio. Si multiplicas por una cantidad negativa, invierte las desigualdades.
4. Calcula el límite de cada cota. Si coinciden, has terminado.

Un atajo útil: si $|f(x)| \le h(x)$ y $h(x) \to 0$, entonces $f(x) \to 0$. Es el teorema del sándwich con $g = -h$.

## Errores comunes

1. **Usar cotas con límites distintos.** Las cotas $-1$ y $1$ para $\sin\frac{1}{x}$ por sí solas no demuestran nada. Hay que multiplicar por algo que tienda a cero.
2. **Olvidar el signo al multiplicar.** Para $x\sin\frac{1}{x}$ con $x < 0$ las desigualdades se invierten. Usar $|x\sin\frac{1}{x}| \le |x|$ evita el problema.
3. **Separar el límite en un producto.** Escribir $\lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x}$ no es válido porque el segundo límite no existe.

## Teoremas y guías relacionados

El teorema del sándwich es una de las herramientas básicas para [calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits). Suele enseñarse junto al [teorema del valor intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem) y el [teorema del valor extremo](/theorems/extreme-value-theorem), que describen lo que deben cumplir las funciones continuas. Para una introducción suave a los propios límites, empieza por [qué es un límite](/blog/what-is-a-limit).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es el teorema del sándwich?

Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ para todo $x$ cerca de $a$, y tanto $g$ como $h$ tienden a $L$ cuando $x \to a$, entonces $f(x)$ también tiende a $L$. La función del medio queda comprimida hacia el mismo límite.

### ¿Cuándo debo usar el teorema del sándwich?

Úsalo cuando un límite tenga un factor que oscila pero se mantiene acotado, como $\sin\frac{1}{x}$, y los trucos algebraicos habituales no funcionen. Acota la parte oscilante, multiplica en toda la desigualdad y comprueba que ambas cotas tienen el mismo límite.

### ¿El teorema del sándwich funciona para límites en el infinito?

Sí. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ para todo $x$ suficientemente grande y $g$ y $h$ tienden a $L$ cuando $x \to \infty$, entonces también $f(x) \to L$. Por ejemplo, $\frac{\cos x}{x} \to 0$.

### ¿Por qué se llama teorema del sándwich?

La función que te interesa queda entre otras dos como el relleno de un sándwich. Cuando las dos rebanadas de pan se juntan en el mismo punto, el relleno no tiene adónde ir.