# Teorema del Valor Intermedio (TVI): enunciado y ejemplos

> El teorema del valor intermedio: una función continua en [a, b] toma todos los valores entre f(a) y f(b). Enunciado, gráfica, contraejemplos y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-del-valor-intermedio
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(c) = N \text{ para algún } c \in (a, b) $$

## De un vistazo

- **Hipótesis:** $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$, y $N$ está estrictamente entre $f(a)$ y $f(b)$
- **Conclusión:** Existe al menos un $c$ en $(a, b)$ con $f(c) = N$
- **Tipo:** Teorema de existencia: dice que $c$ existe, pero no dónde
- **Ideal para:** Demostrar que una ecuación tiene solución y localizar raíces
- **Versión para raíces:** Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, $f$ tiene un cero en $(a, b)$
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- Una función continua en $[a, b]$ alcanza al menos una vez cada valor entre $f(a)$ y $f(b)$.
- Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, la ecuación $f(x) = 0$ tiene una solución en $(a, b)$.
- La continuidad en todo el intervalo cerrado es imprescindible. Un solo salto o una asíntota bastan para que el teorema falle.
- El teorema demuestra que existe una solución. No dice cuántas hay ni dónde están.

El **teorema del valor intermedio** (TVI) dice que una función continua no puede saltarse valores. Si empieza a una altura y termina a otra, tiene que pasar por todas las alturas intermedias. Es la herramienta estándar para demostrar que una ecuación tiene solución sin necesidad de resolverla.

## Enunciado del teorema del valor intermedio

Supongamos que

1. $f$ es **continua en el intervalo cerrado** $[a, b]$, y
2. $N$ es cualquier número **estrictamente entre** $f(a)$ y $f(b)$.

Entonces existe al menos un número $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que

$$f(c) = N$$

El caso particular más habitual trata sobre raíces: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces $f(c) = 0$ para algún $c$ en $(a, b)$. Esta versión se conoce a menudo como teorema de Bolzano.

## Qué significa el TVI

Dibuja una curva continua desde el punto $(a, f(a))$ hasta el punto $(b, f(b))$ sin levantar el lápiz. Cualquier recta horizontal $y = N$ situada entre las dos alturas tiene que ser atravesada. El TVI es la versión precisa de ese dibujo.

```graph
title: 'Teorema del valor intermedio: y = x³ − x − 1 cruza el cero entre x = 1 y x = 2'
caption: 'Como $f(1) = -1 < 0$ y $f(2) = 5 > 0$ y $f$ es continua, la curva debe cruzar $y = 0$ en algún punto de $(1, 2)$. El cruce está cerca de $x \approx 1.32$.'
x: [0, 2.4]
y: [-2.5, 6]
functions:
  - expr: x^3 - x - 1
    label: y = x³ − x − 1
points:
  - [1, -1, 'f(1) = −1']
  - [2, 5, 'f(2) = 5']
  - [1.3247, 0, 'c ≈ 1.32']
vertical:
  - {x: 1, label: 'a = 1'}
  - {x: 2, label: 'b = 2'}
```

Fíjate en lo que el teorema no dice. No dice dónde está $c$, ni dice que $c$ sea único. Es un **teorema de existencia**.

## Por qué importa la continuidad: contraejemplos

**Una asíntota vertical.** Sea $f(x) = \frac{1}{x}$ en $[-1, 1]$. Entonces $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$, así que $0$ está entre ellos, y sin embargo $\frac{1}{x}$ nunca vale $0$. El TVI no se aplica porque $f$ ni siquiera está definida en $x = 0$, y mucho menos es continua ahí.

**Un salto.** Sea $f(x) = 0$ para $x < 1$ y $f(x) = 2$ para $x \ge 1$, en $[0, 2]$. La función pasa de $0$ a $2$ pero nunca vale $1$. El salto en $x = 1$ rompe la continuidad.

**No basta con la continuidad en una parte del intervalo.** La hipótesis es continuidad en todo $[a, b]$, incluidos los extremos. Comprobar unos cuantos puntos no demuestra nada. Consulta la guía sobre [continuidad](/blog/continuity) para ver cómo comprobarla.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: demuestra que $x^3 - x - 1 = 0$ tiene una solución entre $1$ y $2$.**

**Paso 1.** $f(x) = x^3 - x - 1$ es un polinomio, así que es continua en $[1, 2]$.

**Paso 2.** $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ y $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$.

**Paso 3.** Como $-1 < 0 < 5$, el TVI da un $c$ en $(1, 2)$ con $f(c) = 0$.

**Paso 4 (acotar la raíz).** $f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$, así que el cambio de signo, y por tanto una raíz, está en $(1, 1.5)$. Repetir esta división a la mitad es el **método de bisección**, que localiza la raíz en $c \approx 1.3247$.

**Ejemplo 2: demuestra que $\cos x = x$ tiene solución.**

Pasa todo a un lado: $g(x) = \cos x - x$, que es continua en todas partes. Entonces

$$g(0) = 1 > 0, \qquad g\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$

Por el TVI, $g(c) = 0$ para algún $c$ en $(0, \frac{\pi}{2})$, así que $\cos c = c$. Nunca podrías resolver esta ecuación con álgebra, pero el TVI demuestra que la solución existe.

**Ejemplo 3: alcanzar un valor distinto de cero.** Demuestra que $f(x) = x^2 + x$ toma el valor $4$ en $[1, 2]$. $f$ es continua, $f(1) = 2$ y $f(2) = 6$. Como $2 < 4 < 6$, existe un $c$ en $(1, 2)$ con $c^2 + c = 4$. (Al resolver se obtiene $c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56$, que efectivamente está en el intervalo.)

## Cómo redactar un argumento con el TVI

Una respuesta completa en un examen menciona las tres piezas:

1. **Continuidad:** explica por qué $f$ es continua en $[a, b]$ (es un polinomio, una suma de funciones continuas, etc.).
2. **Valores en los extremos:** calcula $f(a)$ y $f(b)$.
3. **Conclusión:** indica que $N$ está entre ellos, así que por el teorema del valor intermedio existe algún $c$ en $(a, b)$ con $f(c) = N$.

## Errores comunes

1. **Saltarse la comprobación de continuidad.** Sin ella el argumento está incompleto, y para funciones como $\tan x$ o $\frac{1}{x}$ la conclusión puede ser falsa.
2. **Afirmar que hay exactamente una solución.** El TVI garantiza al menos una. La unicidad requiere un argumento aparte, por ejemplo que $f$ sea estrictamente creciente.
3. **Usar el recíproco.** Una función que toma todos los valores intermedios no es necesariamente continua. El TVI solo funciona en un sentido.

## Teoremas relacionados

El TVI va de la mano del [teorema del valor extremo](/theorems/extreme-value-theorem): ambos se apoyan en la continuidad en un intervalo cerrado. Para demostrar que una raíz es la única, combina el TVI con el [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem). Para las técnicas de límites en las que se basa la continuidad, consulta [cómo calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits) y el [teorema del sándwich](/theorems/squeeze-theorem).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el teorema del valor intermedio?

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $N$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces $f(c) = N$ para al menos un $c$ entre $a$ y $b$. Una gráfica continua no puede pasar de una altura a otra sin pasar por todas las alturas intermedias.

### ¿Cómo se usa el TVI para demostrar que existe una raíz?

Comprueba que $f$ es continua en $[a, b]$, evalúa $f(a)$ y $f(b)$ y confirma que tienen signos opuestos. Entonces $0$ está entre ellos, así que el TVI garantiza algún $c$ en $(a, b)$ con $f(c) = 0$.

### ¿El teorema del valor intermedio dice cuántas raíces hay?

No. Garantiza al menos una. Podría haber tres, o cien. Para demostrar que hay exactamente una, combina el TVI con un hecho como que $f$ es estrictamente creciente, algo que a menudo se prueba con el [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem).

### ¿Qué pasa si la función no es continua?

La conclusión puede fallar. Por ejemplo, $f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$, pero nunca vale $0$, porque no es continua en $x = 0$.