# Teorema del Valor Medio para integrales: enunciado y ejemplos

> El teorema del valor medio para integrales: una función continua en [a, b] alcanza su valor promedio en algún c. Enunciado, gráfica, contraejemplo y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-del-valor-medio-para-integrales
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx $$

## De un vistazo

- **Hipótesis:** $f$ es continua en $[a, b]$
- **Conclusión:** Algún $c$ en $[a, b]$ cumple $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Valor promedio:** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Significado geométrico:** Un rectángulo de altura $f(c)$ sobre $[a, b]$ tiene la misma área que la región bajo $f$
- **Relacionado con:** El teorema del valor medio para derivadas, aplicado a $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- Una función continua alcanza realmente su valor promedio en algún punto del intervalo.
- El valor promedio de $f$ en $[a, b]$ es $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
- Para hallar $c$, calcula el valor promedio, resuelve $f(c) = f_{\text{avg}}$ y conserva las soluciones que estén en $[a, b]$.
- La continuidad es imprescindible: una función con un salto puede saltarse su valor promedio.

El **teorema del valor medio para integrales** dice que una función continua alcanza su propio valor promedio al menos una vez. Si aplanas el área bajo la curva hasta convertirla en un rectángulo del mismo ancho, la altura de ese rectángulo es un valor que la función realmente toma.

## Enunciado del teorema del valor medio para integrales

Si $f$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$, entonces existe un número $c$ en $[a, b]$ tal que

$$f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$

o, de forma equivalente,

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a)$$

La cantidad del lado derecho de la primera ecuación es el **valor promedio** de $f$ en $[a, b]$, que se escribe $f_{\text{avg}}$.

## Qué significa el teorema

El área bajo $y = f(x)$ de $a$ a $b$ es igual al área de un rectángulo con la misma base, $b - a$, y altura $f_{\text{avg}}$. El teorema dice que esa altura no es un número cualquiera: la curva pasa por ella. Imagina el agua de un tanque con la superficie ondulada. Cuando el agua se calma y queda plana, su nivel es la altura promedio, y la superficie ondulada original estaba a ese nivel en algún punto.

```graph
title: 'Teorema del valor medio para integrales: y = x² en [0, 3] alcanza su valor promedio 3 en x = √3'
caption: 'El área bajo $y = x^2$ en $[0, 3]$ es $9$, así que el valor promedio es $\frac{9}{3} = 3$. La curva vale $3$ en $c = \sqrt{3} \approx 1.732$.'
x: [-0.3, 3.3]
y: [-0.5, 9.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: '3'
    label: valor promedio y = 3
    dashed: true
    domain: [0, 3]
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 3}
points:
  - [1.732, 3, 'c = √3']
```

## Por qué importa la continuidad

Sea $f(x) = 0$ para $0 \le x < 1$ y $f(x) = 1$ para $1 \le x \le 2$. Su integral sobre $[0, 2]$ es $1$, así que su valor promedio es $\frac{1}{2}$. Pero $f$ solo toma los valores $0$ y $1$, nunca $\frac{1}{2}$. El salto en $x = 1$ permite que la función se salte su valor promedio. Con continuidad, el [teorema del valor intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem) lo impide.

## Por qué el teorema es cierto

Por el [teorema del valor extremo](/theorems/extreme-value-theorem), $f$ tiene un mínimo $m$ y un máximo $M$ en $[a, b]$. Como $m \le f(x) \le M$,

$$m(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b - a) \implies m \le f_{\text{avg}} \le M$$

Así que $f_{\text{avg}}$ está entre dos valores que $f$ alcanza, y el teorema del valor intermedio da un $c$ con $f(c) = f_{\text{avg}}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: $f(x) = x^2$ en $[0, 3]$.**

**Paso 1.** Valor promedio: $\frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

**Paso 2.** Resuelve $c^2 = 3$, de modo que $c = \pm\sqrt{3}$.

**Paso 3.** Solo $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ está en $[0, 3]$.

**Ejemplo 2: $f(x) = \sin x$ en $[0, \pi]$.**

**Paso 1.** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

**Paso 2.** Resuelve $\sin c = \frac{2}{\pi}$. En $[0, \pi]$ hay dos soluciones:

$$c = \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 0.690 \qquad \text{y} \qquad c = \pi - \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 2.452$$

El teorema promete al menos una; aquí hay dos.

**Ejemplo 3: una función lineal.** Para $f(x) = 2x + 1$ en $[0, 4]$, $\int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20$, así que $f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5$. Al resolver $2c + 1 = 5$ se obtiene $c = 2$, el punto medio. Para cualquier función lineal, el valor promedio se alcanza en el punto medio.

## Errores comunes

1. **Olvidar dividir entre $b - a$.** La integral es el área; el valor promedio es el área dividida entre el ancho.
2. **Conservar soluciones fuera del intervalo.** En el Ejemplo 1, hay que descartar $c = -\sqrt{3}$.
3. **Confundirlo con el teorema del valor medio para derivadas.** Ese teorema iguala $f'(c)$ a la pendiente promedio de $f$. Este iguala $f(c)$ al valor promedio de $f$.

## Teoremas relacionados

Este teorema es el [teorema del valor medio](/theorems/mean-value-theorem) aplicado a $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, usando la [primera parte del TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) para obtener $F' = f$ y la [segunda parte del TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) para evaluar la integral. Para saber más sobre las integrales como área acumulada, consulta las [sumas de Riemann](/blog/riemann-sums) y la [guía del Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es el teorema del valor medio para integrales?

Si $f$ es continua en $[a, b]$, existe un número $c$ en $[a, b]$ con $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Es decir, $f$ alcanza su valor promedio al menos una vez.

### ¿Cómo se calcula el valor promedio de una función?

Integra la función sobre el intervalo y divide entre la longitud del intervalo: $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Para $x^2$ en $[0, 3]$ esto da $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

### ¿Qué relación tiene el teorema del valor medio para integrales con el de derivadas?

Sea $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Al aplicar el teorema del valor medio a $F$ se obtiene $F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}$, y como $F' = f$, esto es exactamente $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.

### ¿c está en el intervalo abierto o en el cerrado?

Los libros suelen enunciar $c \in [a, b]$, que es lo que da directamente la demostración con los teoremas del valor extremo y del valor intermedio. Un argumento un poco más fino muestra que $c$ siempre se puede elegir en el intervalo abierto $(a, b)$.